Допоможіть розвязати задачу на визначення точності вимірювань та на нерівність Чєбишева.
При масовому виробництві сірників відомо, що у партії з 80 3 пачок знаходиться 0 бракованих. Знайти ймовірність того, що у партії з 3 пачок кількість бракованих буде коливатися в межах ±e, відносно найбільш вірогіднішого значення.Скільки разів потрібно провести вимірювання маси вантажної машини з зерном при довірчий імовірності 0,9, якщо точність зважування на терезах складає 80/100 кг., а середня маса вантажівки дорівнює 0,5К, центнер.
Ответы
мы можем использовать биномиальное распределение для моделирования количества дефектных упаковок в партии из 3 упаковок. Предполагается, что вероятность брака в одной упаковке постоянна для всех упаковок и равна p = 0 (поскольку партия бездефектна).
Наиболее вероятное количество дефектных упаковок в партии из 3 упаковок равно 0. Вероятность наличия 0 дефектных упаковок определяется биномиальным распределением:
P (X = 0) = (3 выберите 0) * 0 ^ 0 * (1-0) ^ 3 = 1
Чтобы найти вероятность того, что количество дефектных упаковок колеблется в пределах ±e от наиболее вероятного значения 0, нам нужно вычислить вероятности наличия 0, 1, 2 или 3 дефектных упаковок:
P(X = 0) = 1 P(X = 1) = (3 выбирают 1) * 0^1 * (1-0)^2 = 0 P(X = 2) = (3 выбирают 2) * 0^2 * (1-0)^1 = 0 P(X = 3) = (3 выбирают 3) * 0^3 * (1-0)^0 = 0
Следовательно, вероятность того, что количество дефектных упаковок колеблется в пределах ±е от наиболее вероятного значения 0, равна 1, поскольку единственно возможное значение равно 0.
Что касается второго вопроса, мы можем использовать центральную предельную теорему для аппроксимации распределения выборочного среднего измерения массы грузовика-зерновоза. Стандартное отклонение измерений определяется точностью взвешивания 80/100 кг.
Пусть X — вес зерновоза в центнерах, а X1, X2, ..., Xn — n независимых измерений X. Тогда выборочное среднее значение определяется формулой:
X_bar = (X1 + X2 + ... + Xn) / n
Стандартное отклонение X_bar определяется по формуле:
sigma_X_bar = sigma_X / sqrt(n)
где sigma_X — стандартное отклонение измерений.
Мы хотим найти количество измерений n такое, что погрешность составляет ±0,5 К центнера с доверительной вероятностью 0,9. Погрешность определяется:
ME = z_alpha/2 * (sigma_X / sqrt(n))
где z_alpha/2 — z-оценка, соответствующая доверительной вероятности 0,9 (т. е. площадь справа от z_alpha/2 равна 0,1).
Используя таблицу z-показателей или калькулятор, мы находим, что z_alpha/2 = 1,645.
Подставляя данные значения, имеем:
0,5 = 1,645 * (80/100) / кв.кв.(n)
Решив относительно n, получим:
п = (1,645 * 80/100/0,5) ^ 2 = 34,1
Следовательно, нам нужно измерить массу зерновоза не менее 35 раз, чтобы иметь доверительную вероятность 0,9, что погрешность составляет ±0,5 К центнера.