СТОЧНО!!! Даю 50 балов. Три числа х1, х2, і х3, утворюють зростаючу арифметичну прогресію.
1) Знайдіть x2, якщо сума ціеї прогресії до-рівнює 9.
2) Якщо до х1, додати , x2, залишити без
змін, а до х3, додати 3, то отримаемо геометричну прогресію. Знайдіть х1, і х3
Ответы
Ответ:
У зростаючій арифметичній прогресії середина ряду дорівнює середньому арифметичному першого і останнього членів. Тобто, x2 = (x1 + x3)/2.
Також, сума першого n членів арифметичної прогресії може бути обчислена як:
S = n*(a1 + an)/2
де S - сума, n - кількість членів, a1 - перший член, аn - останній член.
В даному випадку, ми знаємо, що S = 9 і що х2 = (x1 + x3)/2. Можемо скласти рівняння:
9 = 3*(x1 + x3)/2
9 = (3/2)*x1 + (3/2)*x3
6 = x1 + x3
x2 = (x1 + x3)/2 = (6)/2 = 3
Якщо до х1 додати x2, то ми отримаємо 2x2, оскільки ці числа утворюють зростаючу арифметичну прогресію. Якщо до x3 додати 3, то ми отримаємо (x3 + 3). Ми знаємо, що послідовність (х1, x2, х3 + 3) є геометричною прогресією. Також, ми знаємо, що x2 = (x1 + x3)/2 (з формули для зростаючої арифметичної прогресії).
Отже, ми можемо скласти таку систему рівнянь:
x2 = (x1 + x3)/2
x2^2 = x1(x3+3)
Замість x2 у другому рівнянні можемо підставити вираз з першого рівняння:
((x1 + x3)/2)^2 = x1*(x3+3)
x1^2 + 2x1x3 + x3^2 - 4x1 - 6x3 = 0
(x1 - 2)*(x3 - 3) = 3
Отже, ми маємо дві можливі пари значень для (x1, x3): (2, 6) та (-1, 0). Але оскільки умова вказує на зростаючу арифметичну прогресію, єдиним вірним розв'язком є (2, 6).