До поможіть будласка
1. Знайдіть AUB і АПВ, якщо А - (2; 5), В - [-1; 3).
2. Скількома способами можна вибрати 3 різні фарби із 5 різних
фарб?
3. 25 учнів обмінялися фотографіями так, що кожний обміняв-ся з кожним. Скільки було роздано фотопрафій?
4 Скількома способами можна розкласти 8 різних листів в 8 різних конвертів, якщо в кожний конверт вкладається лише
один лист?
5 Розкласти вираз (1 + V3) за формулою бінома Ньютона і спро-
стити.
6. У взводі 5 сержантів і 30 солдат. Скількома способами мож-на скласти наряд із одного сержанта і прьох солдат?
Ответы
Ответ:
1. AUB = [-1; 5), АПВ = (-∞; 3)
2. 10
3. 300
4. Отже, є 40320 способів розкласти 8 різних листів в 8 різних конвертів
5. 10 + 6√3.
6. 150
Объяснение:
1. У множині А містяться всі числа від 2 до 5, включно (бо квадратна дужка означає включення кінцевих точок), а у множині В містяться всі числа від -1 до 3, не включаючи 3 (кругла дужка означає виключення кінцевої точки). Отже, об'єднання множин А та В складається з усіх чисел, що належать до відрізка [-1; 5), тобто AUB = [-1; 5).
Множина АПВ містить усі елементи, які належать до множини А, але не належать до множини В. У множині А містяться всі числа від 2 до 5, включно, а у множині В містяться всі числа від -1 до 3, не включаючи 3. Отже, множина АПВ складається з усіх чисел, що більші за 3 або менші за -1, тобто АПВ = (-∞; 3).
2. Для того, щоб знайти цю кількість, використовується формула для поєднань без повторень C(n, k), яка визначає кількість способів вибрати k об'єктів із n різних об'єктів, де порядок вибору не має значення. Для даної задачі C(5, 3) = 10, оскільки з 5 різних фарб можна вибрати 3 фарби на 10 різних способів.
3. Для того, щоб знайти цю кількість, можна використати формулу для обчислення кількості комбінацій C(n, k), яка визначає кількість способів вибрати k об'єктів із n різних об'єктів, де порядок вибору не має значення. У даному випадку, n = 25 (кількість учнів), k = 2 (кількість учнів, які обмінюються фотографіями), тому:
C(25,2) = (25!)/(2!(25-2)!) = (25x24)/(2x1) = 300
4.Кількість способів розкласти 8 різних листів в 8 різних конвертів, якщо в кожний конверт вкладається лише один лист, дорівнює кількості перестановок з 8 елементів, оскільки в даному випадку порядок розкладання листів в конверти важливий. Тому, кількість способів можна обчислити за формулою:
8! = 40320
5. Формула бінома Ньютона для додавання двох чисел a та b до степеню n має вигляд:
(a+b)^n = C(n,0)a^nb^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)a^1b^(n-1) + C(n,n)a^0b^n,
де C(n,k) - коефіцієнт бінома, що обчислюється за формулою C(n,k) = n! / (k!(n-k)!).
Вираз (1 + √3) можна розглядати як a = 1 та b = √3. Застосуємо формулу бінома Ньютона для степеня 2
(1 + √3)^2 = C(2,0)1^2√3^0 + C(2,1)1^1√3^1 + C(2,2)1^0√3^2
= 1 + 2√3 + 3
= 4 + 2√3
Тепер, розкладаючи вираз (1 + √3) за формулою бінома Ньютона до степеня 3, отримаємо
(1 + √3)^3 = C(3,0)1^3√3^0 + C(3,1)1^2√3^1 + C(3,2)1^1√3^2 + C(3,3)1^0√3^3
= 1 + 3√3 + 3(√3)^2 + (√3)^3
= 1 + 3√3 + 9 + 3√3
= 10 + 6√3
6 Для складання наряду з одного сержанта і принаймні одного солдата існує 5 варіантів вибору сержанта і для кожного варіанту є 30 варіантів вибору солдатів. Оскільки кількість способів вибору солдатів необмежена, то кількість способів складання такого наряду дорівнює добутку кількості способів вибору сержанта і кількості способів вибору солдатів. Тому загальна кількість способів складання наряду дорівнює 5 * 30 = 150