Question

Решите уравнение (4x² -6| x |)² + | 2x² - x - 6 | = 0

Answer 1

$(4x^2 -6| x |)^2 + | 2x^2 - x - 6 | = 0$

Заметим, что в левой части записана сумма квадрата и модуля. Квадрат и модуль любого выражения принимают только неотрицательные значения. А сумма двух неотрицательных значений равна 0 тогда и только тогда, когда каждое из этих значений равно 0.

Получаем систему:

$\begin{cases} (4x^2 -6| x |)^2=0 \\ | 2x^2 - x - 6 | = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} 4x^2 -6| x |=0 \\ 2x^2 - x - 6 = 0 \end{cases}$

Решаем первое уравнение:

$4x^2 -6| x |=0$

$4|x|^2 -6| x |=0$

$4|x|(|x| -1.5)=0$

$\left[\begin{array}{l} |x|=0 \\ |x| -1.5=0\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} |x|=0 \\ |x| =1.5\end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x=0 \\ x =\pm1.5\end{array}\right.$

$\boxed{x\in\{-1.5;\ 0;\ 1.5\}}$

Решаем второе уравнение:

$2x^2 - x - 6 = 0$

$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-6)=1+48=49$

$x=\dfrac{1+\sqrt{49} }{2\cdot2} =2;\ x=\dfrac{1-\sqrt{49} }{2\cdot2} =-1.5$

$\boxed{x\in\{-1.5;\ 2\}}$

Заметим, что единственное число, которое является решением и первого уравнения и второго уравнения, это число (-1.5). Значит, это единственное решение исходного уравнения.

Ответ: -1.5