Question

Даны вершины треугольника АВС: A(5;1); B(-3;-1); C(7; -5)
Найти:
а) уравнение стороны AB;
б) уравнение высоты CH;
в) уравнение медианы AM;
г) точку N персечения медианы AM и высоты CH;
д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;
е) расстояние от точки C до прямой AB

Answer 1

а) Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки, воспользуемся уравнением прямой в общем виде:

(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)

Для стороны AB:

точка A имеет координаты (5,1)
точка B имеет координаты (-3,-1)
Подставляем координаты точек в уравнение:

(y - 1)/(-1 - 1) = (x - 5)/(-3 - 5)

Упрощаем:

(y - 1)/(-2) = (x - 5)/(-8)

Перемножаем обе части на -8 и получаем:

4(y - 1) = -(x - 5) или 4y + x - 9 = 0.

Ответ: уравнение стороны AB: 4y + x - 9 = 0.

б) Для нахождения уравнения высоты CH, проведём высоту из вершины С на сторону AB. Точка пересечения высоты и стороны называется основанием высоты. Обозначим точку пересечения высоты с AB как D.

Найдём координаты точки D, зная, что CD - это высота, а угол BCD прямой. Тогда вектор CD будет перпендикулярен вектору AB.

Найдём вектор AB:

AB = (xB - xA, yB - yA) = (-3 - 5, -1 - 1) = (-8, -2)

Тогда вектор CD будет иметь координаты (a, b), где a и b - неизвестные коэффициенты. Так как вектора AB и CD перпендикулярны, их скалярное произведение будет равно нулю:

AB * CD = (-8)*a + (-2)*b = 0

Для нахождения a и b, заменяем координаты точки C (7, -5) и точки D (xD, yD):

a = xD - 7
b = yD + 5

Подставляем a и b в уравнение AB * CD:

(-8)(xD - 7) + (-2)(yD + 5) = 0

Упрощаем:

8xD + 16yD = 26

Получаем уравнение высоты:

yD = (26 - 8xD)/16

Ответ: уравнение высоты CH: y = (26 - 8x)/16.

в) Для нахождения уравнения медианы AM найдём середину стороны BC. Обозначим её как точку E.

Найдём координаты точки E, зная, что E - это середина отрезка BC.