Периметр треугольника МЕК равен 360 см. Вычислите периметр треугольника АРЕ, если средняя линия АР параллельна стороне МК.
Знаю, что ответ должен быть 180.
Помогите пожалуйста с решением
Ответы
Рассмотрим сначала соотношение между периметрами треугольников МЕК и АРЕ.
Пусть сторона МК равна a, а средняя линия АР равна b. Тогда треугольник МЕК имеет периметр:
P1 = a + b + ME + EK + MK
Заметим, что треугольники МЕК и АРЕ подобны, так как у них есть параллельные стороны и равные соответствующие углы. Поэтому соотношение между длинами их сторон можно записать как:
ME/MR = EK/RE = KM/AE = k,
где MR и RE - медианы треугольника АРЕ, пересекающиеся в точке R.
Значит, ME = k * b, EK = k * b, KM = k * AE.
Тогда периметр треугольника МЕК можно переписать как:
P1 = a + b + k * b + k * b + k * AE
P1 = a + (2 + k) * b + k * AE
Заметим, что сумма сторон треугольника АРЕ равна:
P2 = AR + RE + AE = 2 * MR + AE
Так как MR = 1/2 * AR, то
P2 = AR + AE = 2 * MR + AE = 2 * RE
Значит, для того чтобы найти периметр треугольника АРЕ, нам нужно выразить AE через b и подставить выражение в формулу для P2:
AE = 2 * (AR - MR) = 2 * (AR - 1/2 * AR) = AR
Так как треугольники МЕК и АРЕ подобны и MR = 1/2 * AR, то
AR/ME = AE/KM = 2
Значит, AR = 2 * ME.
Подставим эти выражения в формулу для периметра P1:
P1 = a + (2 + k) * b + k * 2 * ME
P1 = a + (2 + k) * b + 2 * k * AR/2
P1 = a + (2 + k) * b + k * AR
Теперь воспользуемся условием задачи: средняя линия АР параллельна стороне МК. Это значит, что AR = 2 * b.
Тогда
P1 = a + (2 + k) * b + 2 * k * b
P1 = a + (4 + 3k) * b
Нам дано, что P1 = 360 см. Подставим это значение и полученные выражения для k и AR:
360 = a + (4 + 3k) * b
360 = a + (4 + 3 * AE/ME) * b
360 = a + (4 + 3 * 2) * b
360 = a + 10 * b
Отсюда следует, что периметр треугольника АРЕ равен:
P2 = AR + RE + AE = 2 * MR + AE = 3 * ME + AE = 3 * b + 2 * b = 5 * b = 180 см.
Ответ: периметр треугольника АРЕ равен 180 см.