При каких значениях параметра а функция у = 2x^2 – 4ax + 3 возрастает на промежутке [-1;4] ?
Ответы
Ответ: a < 4.
Объяснение:
Для того, чтобы функция была возрастающей на заданном промежутке, ее производная должна быть положительной на этом промежутке.
Найдем производную функции y по x:
y' = 4x - 4a
Чтобы найти значения параметра a, при которых функция возрастает на промежутке [-1;4], нужно решить неравенство y' > 0:
4x - 4a > 0
4x > 4a
x > a
Таким образом, функция возрастает на промежутке [-1;4], если параметр а удовлетворяет условию a < 4.
Ответ: a < 4.
Ответ:
Для того чтобы узнать, когда функция возрастает на данном промежутке, надо найти ее производную и определить знак производной на этом промежутке. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна – убывает, если равна нулю – имеет экстремум.
Найдем производную функции у(x):
у' = 4x – 4a
Значение производной на промежутке [-1;4] зависит от значения параметра а. Рассмотрим 2 случая:
1) Если a > 1, то производная у' > 0 при всех значениях x на промежутке [-1;4], так как при x = -1 получаем у' = -4a - 4 < 0, а при x = 4 получаем у' = 16 - 4a > 0. Значит, функция у(x) возрастает на промежутке [-1;4] при любых a > 1.
2) Если a ≤ 1, то производная у' может быть как положительной, так и отрицательной на промежутке [-1;4]. Если мы найдем точку пересечения оси OX производной у'(x) при x = c, то мы сможем определить знак производной на левой и правой частях от этой точки, а значит, и на интервале [-1;4].
Уравнение у' = 0 имеет вид:
4x – 4a = 0
x = a
Если a < -1, то точка c находится справа от интервала [-1;4], и значит, у'(x) < 0 на всем промежутке [-1;4], то есть функция у(x) убывает.
Если -1 ≤ a ≤ 4, то точка c находится на интервале [-1;4] и мы можем рассмотреть два случая:
- Если x < a, то у' < 0, так как при x < a получаем у' < 0, а при x > a получаем у' > 0. Значит, функция у(x) убывает на этом интервале.
- Если x > a, то у' > 0, так как при x < a получаем у' < 0, а при x > a получаем у' > 0. Значит, функция у(x) возрастает на этом интервале.
Таким образом, функция у(x) возрастает на промежутке [-1;4] при значениях параметра а, удовлетворяющих условию a ≥ 4 или -1 ≤ a ≤ 1.