Найти координаты вектора b , зная координаты коллинеарного вектора a(2,1, -1) и имея условие a×b=3
Ответы
ответ и пошаговое обьяснение:
Коллинеарные векторы параллельны и могут отличаться только по длине, поэтому вектор b также будет коллинеарным с вектором a. Это означает, что существует число k, такое что b=k*a.
Также дано условие a×b=3. Векторное произведение a×b является вектором, перпендикулярным обоим векторам a и b. Поскольку a и b коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю, а значит вектор b должен быть параллелен вектору, перпендикулярному обоим векторам a и b.
Из этого следует, что вектор b должен быть перпендикулярен вектору a×b. Так как a и b коллинеарны, то a×b также коллинеарен с a и b. Следовательно, b должен быть перпендикулярен a.
Таким образом, чтобы найти вектор b, необходимо взять вектор, перпендикулярный a, и задать его длину, умножив на коэффициент k:
b = k * (1, -2, -5)
Поскольку вектор b коллинеарен вектору a, он имеет ту же направленность. Так как a и b коллинеарны, то их длины относятся как соответствующие координаты:
b = k * (2, 1, -1)
Теперь необходимо найти значение k. Для этого воспользуемся условием a×b=3. Векторное произведение a×b можно найти как определитель матрицы из координат векторов a и b:
a × b =
| i j k |
| 2 1 -1 |
| 2k k -k |
Вычисляя этот определитель, получаем:
a × b = (k-2)i - 5kj - 3k^2 j - 3ki - 2k^2 j + 2k k = (k-2)i - 5kj - k^2 j
Так как a × b=3, то получаем уравнение:
(k-2)i - 5kj - k^2 j = 3
Сравнивая соответствующие коэффициенты, получаем систему уравнений:
k - 2 = 0
-5k = 0
-k^2 = 3
Отсюда следует, что k=2 и k не может быть равным -5, так как это приводит к противоречию в последнем уравнении. Таким образом,
b = 2 * (2, 1, -1) = (4, 2, -2)