Question

Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, а бічне ре-
бро утворює з площиною основи кут с. Знайдіть площу бічної поверхні
конуса, описаного навколо цієї піраміди.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

необхідно знати радіус цього конуса і висоту бічної поверхні.За теоремою Піфагора для правильної трикутної піраміди з основою a і бічним ребром b виконується наступна рівність:

b² = a² + h²,

де h - висота бічної грані.

для описаного конуса бічне ребро співпадає зі стороною піраміди, а радіус дорівнює половині діагоналі основи піраміди:

r = (a/2)·cot(с/2),

де cot - тангенс оберненої (аркотангенс) функції.Тоді площа бічної поверхні конуса дорівнює:

S = πrb,

де π - число пі, b - генератриса конуса, яка обчислюється за формулою:

b = √(r² + h²).

Отже, маємо:

h = √(b² - a²),

r = (a/2)·cot(с/2),

b = √(r² + h²),

S = πrb.

Підставляємо вирази для h, r та b у формулу для S і отримуємо:

S = π·a/2·cot(с/2)·√[(a/2)² + (b² - a²)].

Зважаючи на рівність b² = a² + h², можна спростити підкореневий вираз:

S = π·a/2·cot(с/2)·√[b²] = π·a/2·cot(с/2)·b.

Остаточно, площа бічної поверхні конуса дорівнює:

S = π·a/2·cot(с/2)·√(a² + b²).