100 БАЛЛОВ
В основе прямой призмы лежит ромб со стороной a и острым углом. Сечением
призмы плоскостью, проведенной через большую диагональ ее основания и вершину тупого
угла другого основания, есть прямоугольный треугольник. Найдите объем призмы.
Ответы
Ответ:
Пусть основание прямой призмы имеет форму ромба со стороной a, а острый угол равен 60 градусам. Тогда, так как угол в ромбе равен 90 градусам, каждый угол равен 180 - 2*60 = 60 градусам, то есть ромб является равносторонним.
Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проведенной через большую диагональ ромба основания и вершину тупого угла другого основания. Это прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине диагонали ромба, то есть a/2, а гипотенуза равна стороне ромба, то есть a.
Таким образом, другой катет прямоугольного треугольника равен sqrt(a^2 - (a/2)^2) = sqrt(3)a/2.
Высота призмы равна длине этого катета, то есть sqrt(3)a/2.
Таким образом, объем призмы равен V = S * h = a^2 * sqrt(3)a/2 = (sqrt(3)/2)a^3.
Ответ: V = (sqrt(3)/2)a^3.