На осі аплікат знайдіть точку, рівновіддалену від точок T(1; -5; 0) i F(3; -2; 1).
ПОМОГИТЕ ПОПОЖАЛКЙСТА !!!
Ответы
Відповідь:
шукана точка на прямій TF рівновіддалена від точок T і F і має координати (7/4, -16/4, 1/4), а відстань від неї до кожної з цих точок дорівнює √14 / 2 = √7 / 2.
Пояснення:
Аплікат - це пряма, що лежить на площині, паралельній площині заданої точками T і F, оскільки будь-яка точка, рівновіддалена від цих двох точок, також буде лежати на цій площині.
Для знаходження цієї площини скористаємось векторним добутком векторів, які спрямовані від точки T до точки F та до довільної точки (x, y, z) на площині аплікату:
n = TF x (x,y,z-T)
де TF - вектор, спрямований від T до F:
TF = F - T = (3, -2, 1) - (1, -5, 0) = (2, 3, 1)
Отже, рівняння площини, яка проходить через точки T і F, має вигляд:
2x + 3y + z = k
Щоб знайти k, підставимо координати однієї з заданих точок, скажімо T:
2(1) + 3(-5) + 0 = k
k = -13
Отже, рівняння площини, яка проходить через точки T і F, має вигляд:
2x + 3y + z = -13
Точка, рівновіддалена від точок T і F, лежить на серединному перпендикулярі до відрізка TF. Цей перпендикуляр будується на векторі, що сполучає точки T і F, та проходить через їх середину.
Середина відрізка TF має координати:
M = ( (1+3)/2, (-5-2)/2, (0+1)/2 ) = (2, -3.5, 0.5)
Вектор, що сполучає точки T і F, має напрямок TF:
v = TF = (2, 3, 1)
Серединний перпендикуляр до відрізка TF будується на векторі, спрямованому перпендикулярно до TF, тобто на векторі, що є ортогональним до TF.
Його можна знайти за допомогою векторного добутку двох векторів, які лежать на площині, паралельній площині TF і проходять через точку M. Один з цих векторів може бути будь-який вектор, який не співпадає з вектором TF, наприклад, вектор (1, 0, 0). Другий вектор можна знайти за допомогою векторного добутку векторів TF та першого вектора:
u = TF x (1, 0, 0) = (0, -1, 3)
Отже, ортогональний до відрізка TF вектор, що лежить на серединному перпендикулярі до нього, має напрямок:
w = u x TF = (-3, -6, -3)
Тепер ми можемо записати рівняння прямої, яка проходить через точку M та має напрямок w:
x = 2 - 3t
y = -3.5 - 6t
z = 0.5 - 3t
Для знаходження точки, яка рівновіддалена від точок T і F, потрібно знайти значення параметру t, яке забезпечить рівновіддаленість точки від T і F. Це означає, що відстань від цієї точки до T має дорівнювати відстані від неї до F:
√[(x_T - x)^2 + (y_T - y)^2 + (z_T - z)^2] = √[(x_F - x)^2 + (y_F - y)^2 + (z_F - z)^2]
Підставимо координати точок T і F та рівняння прямої в це рівняння:
√[(1 - (2 - 3t))^2 + (-5 - (-3.5 - 6t))^2 + (0 - (0.5 - 3t))^2] = √[(3 - (2 - 3t))^2 + (-2 - (-3.5 - 6t))^2 + (1 - (0.5 - 3t))^2]
Розкриваємо квадрати та спрощуємо:
√[13t^2 + 3t + 86.25] = √[13t^2 + 3t + 86.25]
Отримали рівність, яка виконується для будь-якого значення t. Це означає, що пряма, яка проходить через точку M та має напрямок w, містить точки, які рівновіддалені від точок T і F. Таким чином, ця пряма є шуканою прямою, що проходить через точки T і F.
Щоб знайти точку на цій прямій, яка рівновіддалена від точок T і F, можна знайти середину відрізка TF, а потім відстань від цієї середини до точки M. Середина відрізка TF має координати:
((1 + 3) / 2, (-5 - 2) / 2, (0 + 1) / 2) = (2, -3.5, 0.5)
Відстань від цієї точки до точки M можна знайти за допомогою проекції вектора, що сполучає точки M і середину відрізка TF, на напрямок вектора w. Проекція вектора AB на напрямок вектора CD розраховується за формулою:
proj_CD AB = ((AB · CD) / ||CD||^2) CD
де AB · CD - скалярний добуток векторів AB та CD, ||CD|| - довжина вектора CD.
Отже, вектор, який сполучає точку M і середину відрізка TF, має координати:
(2 - 2, -3.5 - (-3), 0.5 - 0) = (0, -0.5, 0.5)
Проекція цього вектора на напрямок w дорівнює:
proj_w (0, -0.5, 0.5) = ((0, -0.5, 0.5) · w / ||w||^2) w
де ||w|| - довжина вектора w. Розрахуємо ці значення:
||w|| = √[(-3)^2 + (-6)^2 + (-3)^2] = √54
(0, -0.5, 0.5) · w = 0 * (-3) + (-0.5) * (-6) + 0.5 * (-3) = 1.5
Тоді проекція вектора на напрямок w має координати:
proj_w (0, -0.5, 0.5) = (1.5 / 54) (-3, -6, -3) = (-0.25, -0.5, -0.25)
Отже, точка на прямій TF, яка рівновіддалена від точок T і F, має координати:
(2, -3.5, 0.5) + (-0.25, -0.5, -0.25) = (1.75, -4, 0.25)
Ця точка є рівновіддалено є від точок T і F. Дійсно, відстань від цієї точки до T і F буде однаковою, і дорівнює:
√[(1.75 - 1)^2 + (-4 - (-5))^2 + (0.25 - 0)^2] = √[0.5625 + 1 + 0.0625] = √1.625
Оскільки в задачі не вказано систему одиниць вимірювання, то відповідь можна записати у вигляді десяткового дробу: (1.75, -4, 0.25) або (7/4, -16/4, 1/4). Відстань між точками T і F дорівнює:
√[(3 - 1)^2 + (-2 - (-5))^2 + (1 - 0)^2] = √[4 + 9 + 1] = √14
Отже, шукана точка на прямій TF рівновіддалена від точок T і F і має координати (7/4, -16/4, 1/4), а відстань від неї до кожної з цих точок дорівнює √14 / 2 = √7 / 2.