Question

Даю 40 балов. Задание на фото ниже

Answer 1

Система рівнянь має шість розв'язків, коли умова |х^2-4|х = а має шість різних коренів.

Для знаходження таких значень параметра а, потрібно розглянути два випадки: х^2-4 > 0 та х^2-4 < 0.

У випадку х^2-4 > 0, умова |х^2-4|х дорівнює (х^2-4)х, тому система рівнянь буде мати розв'язки для тих значень х, для яких виконується умова:

(х^2-4)х = а

Ця квадратна рівняння має три розв'язки, які можна знайти за допомогою формули дискримінанту:

х^3 - 4х = а
D = 16 + 4a
x1 = (2 - √(4 + a))/2
x2 = 0
x3 = (2 + √(4 + a))/2

У випадку х^2-4 < 0, умова |х^2-4|х дорівнює (-х^2+4)х, тому система рівнянь буде мати розв'язки для тих значень х, для яких виконується умова:

(-х^2+4)х = а

Ця квадратна рівняння також має три розв'язки, які можна знайти за допомогою формули дискримінанту:

-x^3 + 4x = a
D = 16 - 4a
x4 = (-2 - √(16 - 4a))/2
x5 = 0
x6 = (-2 + √(16 - 4a))/2

Отже, система рівнянь має шість розв'язків, якщо обидва квадратні рівняння мають різні корені, тобто дискримінанти обох рівнянь не дорівнюють нулю:

16 + 4a ≠ 0 та 16 - 4a ≠ 0

Ці умови можна переписати у вигляді:

a ≠ -4 і a ≠ 4

Отже, система має шість розв'язків при будь-яких інших значеннях параметра а.