Трикутник АВС, площа якого дорівнює 32 кв.см , є ортогональною прекцією рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Знайдіть кут між площинами трикутників.
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Оскільки трикутник АВС є ортогональною проекцією рівностороннього трикутника, то він також є рівностороннім. Позначимо його сторону як а.
Тоді площа трикутника АВС дорівнює:
32 кв.см = (1/2) * а * h,
де h - висота трикутника АВС.
Відомо, що в рівносторонньому трикутнику висота ділить бічну сторону на 2, тобто h = (а * sqrt(3))/2.
Тоді ми можемо записати:
32 кв.см = (1/2) * а * (а * sqrt(3))/2
64 = а^2 * sqrt(3)
а = 8 * sqrt(3)
Тепер розглянемо трикутник, утворений діагоналлю рівностороннього трикутника та прямою, що проведена з його вершини до середини протилежної сторони.
Цей трикутник є прямокутним, бо діагональ рівностороннього трикутника є його діаметром, а пряма, що проведена з вершини трикутника до середини протилежної сторони, є його висотою.
Тому, за теоремою Піфагора, сума квадратів катетів цього трикутника дорівнює квадрату його гіпотенузи, тобто:
(а/2)^2 + (a/2)^2 = 8^2
а^2/4 = 32
а^2 = 128
Тепер, використовуючи вираз для площі трикутника через його сторону, ми можемо знайти висоту трикутника:
32 кв.см = (1/2) * а * h
h = 4/а
h = 4/(8*sqrt(3)) = sqrt(3)/6
Тепер розглянемо площини трикутників АВС та АВС', де АВС' - рівносторонній трикутник, проекцією якого є трикутник АВС.
Кут між цими площинами можна знайти за формулою:
cos(α) = (h/h')
де h - висота трикутника АВС, h' - висота трикутника АВС' (рівностороннього трикутника, проекцією якого є трикутник АВС), α - кут між площинами.
Ми вже знайшли значення висоти трикутника АВС, а висота трикутника АВС' дорівнює (а * sqrt(3))/2, оскільки в рівносторонньому трикутнику висота ділить бічну сторону на 2.
Тоді:
cos(α) = h/(a * sqrt(3)/2)
cos(α) = (sqrt(3)/6)/((8*sqrt(3))/2)
cos(α) = 1/4
α = arccos(1/4)
α ≈ 75.5 градусів.
Отже, кут між площинами трикутників АВС та АВС' дорівнює близько 75.5 градусів.