Решите пожалуйста интергал! Очень срочно нужно
tg20x ( от п/4 до п/2)
Ответы
1. Это интеграл tg20x
Чтобы решить интеграл ∫(π/4)^(π/2) tg(20x) dx, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Обозначим u = 20x, тогда du/dx = 20 и dx = du/20. Таким образом, мы можем переписать наш интеграл в следующем виде:
∫(π/4)^(π/2) tg(20x) dx = (1/20) ∫(π/4)*20^2^(π/2)*20 tg(u) du
= (1/20) ∫(π/4)^(π/2) (sin u / cos u) du
= (1/20) ln|cos(π/4)| - (1/20) ln|cos(π/2)|
= (1/20) ln(2)
Таким образом, значение данного интеграла равно (1/20) ln(2).
2. Это интеграл tan20x
Для решения этого интеграла мы можем использовать формулу замены:
∫f(u) du = (1/a) ∫f((x-b)/a) dx
где a и b - константы замены, определяемые из уравнений:
u = (x-b)/a
x = au + b
Таким образом, мы можем заменить переменную x на u, чтобы получить более удобный интеграл. В данном случае мы можем выбрать a = 20 и b = π/4, так что u = 20x - π/4.
Тогда интеграл примет вид:
∫tan(20x) dx = (1/20) ∫tan(u) du (с заменой x = (u+π/4)/20)
Мы можем проинтегрировать эту функцию, используя метод интегрирования по частям:
∫tan(u) du = ln|sec(u)| + C,
где C - постоянная интегрирования.
Таким образом, исходный интеграл станет:
∫tan(20x) dx = (1/20) ln|sec(u)| + C
= (1/20) ln|sec(20x-π/4)| + C
Теперь мы можем вычислить значение интеграла, подставив пределы интегрирования:
∫tan(20x) dx (от π/4 до π/2)
= (1/20) [ln|sec(20π/4-π/4)| - ln|sec(20π/2-π/4)|]
= (1/20) [ln|sec(3π/4)| - ln|sec(9π/4)|]
= (1/20) [ln|√2 + 1| - ln|√2 + 1|] (так как sec(θ) = 1/cos(θ), а cos(3π/4) = -cos(π/4) = √2/2 и cos(9π/4) = -cos(π/4) = √2/2)
= 0
Таким образом, значение данного интеграла равно 0.