Question

Допоможіть будь ласка розвязати там де плюси
Прошу, потрібно НЕГАЙНО.

Answer 1

Ответ:

1) x ∈ (-4; 2)

2) х ∈ (-∞; 2) ∪ (2; +∞)

3) а) x ∈ [-1; 1] ∪ [3; +∞); б) x ∈ (-∞; -2) ∪ [-1; +∞)

Объяснение:

Решить неравенства, если

1) f(x) > 0, если f(x) = 8x - x² - x³/3

Найдем производную.

• Формулы:

 (хⁿ)' = nxⁿ⁻¹;     C' = 0

$\displaystyle y'=8-2x-\frac{1}{3}\cdot 3x^{3-1} =8-2x-x^2$

-x² - 2x + 8 > 0     | · (-1)

• При умножении на отрицательное число знак неравенства перевернется.

х² + 2x - 8 < 0

Решим методом интервалов.

Найдем корни уравнения:

х² + 2x - 8 = 0

$\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{4+32}=\sqrt{36}=6\\ \\ x_1=\frac{-2+6}{2}=2;\;\;\;\;\;x_2=\frac{-2-6}{2}=-4$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки на промежутках:

$+++(-4)---(2)+++$

x ∈ (-4; 2)

2) f'(x) < 0, если f(x) = x/(x+2)

• Производная частного:

                $\displaystyle \bf \left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

Найдем производную.

$\displaystyle \bf y'=\frac{1\cdot(x-2)-x\cdot1}{(x-2)^2} =\frac{x-2-x}{(x-2)^2} =-\frac{2}{(x-2)^2}$

$\displaystyle \bf -\frac{2}{(x-2) ^2} < 0$

ОДЗ: х ≠ 2

Так как, учитывая ОДЗ, знаменатель число положительное, то данная дробь будет отрицательна при всех значения х, кроме х = 2.

х ∈ (-∞; 2) ∪ (2; +∞)

3) f(x) · f'(x) ≥ 0, если

a) f(x) = x² - 2x - 3

Разложим на множители:

f(x) = x² - 3x + x - 3 = x(x - 3) + (x - 3) = (x - 3)(x + 1)

f'(x) = 2x - 2 = 2 (x - 1)

2(x - 3)(x + 1)(x - 1) ≥ 0

Корни уравнения:

2(x - 3)(x + 1)(x - 1) = 0

х₁ = 3;     х₂ = -1;   х₃ = 1

$---[-1]+++[1]---[3]+++$

x ∈ [-1; 1] ∪ [3; +∞)

б) $\displaystyle \bf f(x)=\left(\frac{x+1}{x+2}\right)^2$

• Производная сложной функции:

        (uⁿ)' = nuⁿ⁻¹ · u'

$\displaystyle f'(x)=2\cdot \frac{x+1}{x+2}\cdot \left(\frac{x+1}{x+2}\right)'= 2\cdot \frac{x+1}{x+2}\cdot \frac{1\cdot (x+2)-(x+1)\cdot1}{(x+2)^2} =\\\\=2\cdot \frac{x+1}{x+2}\cdot \frac{1}{(x+2)^2} =\frac{2(x+1)}{(x+2)^3}$

Решим неравенство:

$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{(x+2)^2}\cdot\frac{2(x+1)}{(x+2)^3} \geq 0\\\\\frac{2(x+1)^3}{(x+2)^5}\geq 0$

Решим уравнение:

$\displaystyle \frac{2(x+1)^3}{(x+2)^5} =0$

ОДЗ: х ≠ -2

х + 1 = 0   ⇒   х = -1

$+++(-2)---[-1]+++$

x ∈ (-∞; -2) ∪ [-1; +∞)

#SPJ1