Question

Вычислить неопределенный интеграл 4dx/9+16x^2.

Answer 1

Ответ:Для решения данного интеграла мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть u = 3x. Тогда мы можем переписать интеграл следующим образом:

∫ 4dx / (9 + 16x^2) = ∫ du / (3(3u^2 + 1))

Затем мы можем воспользоваться формулой замены переменной для интегралов, которая гласит:

∫ f(g(x))g'(x)dx = ∫ f(u)du

Применяя эту формулу, мы получим:

∫ du / (3(3u^2 + 1)) = (1/3) ∫ du / (u^2 + 1/3)

Затем мы можем воспользоваться формулой интеграла для функции arc-tangent, которая гласит:

∫ du / (u^2 + a^2) = (1/a) arctan(u/a) + C

Применяя эту формулу к нашему интегралу, мы получим:

(1/3) ∫ du / (u^2 + 1/3) = (1/3)(1/sqrt(3)) arctan(u/sqrt(1/3)) + C

Возвращаясь к исходной переменной, мы получаем:

∫ 4dx / (9 + 16x^2) = (1/3sqrt(3)) arctan(3x/sqrt(3)) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Объяснение: