На стороне BC параллелограмма ABCD отмечена точка E. Отрезок DE пересекает диагональ AC в точке O . Найдите площадь четырёхугольника ABEO , если известно, что площади треугольников ЕОС и DOC равны 4 и 5 соответственно.
Ответы
Объяснение:
Пусть точка O делит диагональ AC на отрезки AO и OC в соотношении k:1, то есть AO = k*AC и OC = AC. Тогда площадь треугольника DOC равна:
S_DOC = (1/2)*OC*CD = (1/2)*AC*CD
Аналогично, площадь треугольника EOS равна:
S_EOS = (1/2)*OE*ES = (1/2)*DE*ES
Заметим, что треугольники DOC и EOS подобны, так как угол DOC равен углу EOS (они соответственные углы при параллельных прямых DE и AC), а также угол DCO равен углу ESO (они вертикальные углы). Поэтому:
S_DOC / S_EOS = OC^2 / OE^2
Подставляя значения площадей и заменяя OC на AC, а OE на DE - DO, получаем:
(1/2)*AC*CD / 4 = AC^2 / (DE - DO)^2
Упрощая и приводя подобные слагаемые, получаем:
DE^2 - 8k*AC*DE + 16k^2*AC^2 = 5AC^2
Так как AB || DC, то по свойству параллелограмма AB = DC = AC. Поэтому можем заменить AC на AB в выражении выше:
DE^2 - 8k*AB*DE + 16k^2*AB^2 = 5AB^2
Теперь заметим, что площадь четырехугольника ABEO равна сумме площадей треугольников ABO и BEO:
S_ABEO = S_ABO + S_BEO
Площадь треугольника ABO равна (1/2)*AB*AO, а площадь треугольника BEO равна (1/2)*BE*OE. Заметим также, что треугольники ABO и BEO подобны соответственно треугольникам DOC и EOS. Поэтому:
S_ABO / S_DOC = AB^2 / OC^2 = k^2
S_BEO / S_EOS = BE^2 / OE^2 = (DE - DO)^2 / OE^2
Снова подставляем известные значения и упрощаем:
S_ABO = (k^2 / 5)*S_DOC
S_BEO = (DE - DO)^2 / 4
Теперь можем выразить площадь четырехугольника ABEO через известные значения:
S_ABEO = (k^2 / 5)*S_DOC + (DE - DO)^2 / 4
Осталось найти значение k, DE и DO. Для этого заметим, что точка O является точкой пересечения медиан треугольника ACD, поэтому AO = CO и DO = 1/3*AC. Также заметим, что треугольники DOC и EOS подобны соотношением сторон DE:DC = ES:OC = EO:AC. Поэтому:
DE / AC = EO / DC
DE / AB = EO / CD
Подставляем значения EO = DE - DO и DC = 3DO, получаем:
DE / AB = (DE - DO) / 3DO
Решаем это уравнение относительно k, получаем:
k = AO / AC = DE / (DE + 3DO) = sqrt(5) - 1
Теперь можем выразить DE и DO через AB:
DO = AB / 3
DE = AB * sqrt(5) / (sqrt(5) + 1)
Подставляем все известные значения в формулу для площади четырехугольника ABEO:
S_ABEO = ((sqrt(5) - 1)^2 / 5)*5 + (AB * sqrt(5) / (sqrt(5) + 1) - AB / 3)^2 / 4
Упрощаем и получаем:
S_ABEO = AB^2 * (3 + sqrt(5)) / 20