Question

Помогите пожалуйста срочно!
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной:

Answer 1

Ответ:

  Замена переменной в неопределённом интеграле приводит к табличным интегралам .

$\displaystyle \bf a)\ \ \int cos\frac{x}{2}\, dx=\Big[\ t=\frac{x}{2}\ ,\ dt=\frac{dx}{2}\ \Big]=2\int cost\, dt=2\, sint+C=\\\\=2\, sin\frac{x}{2}+C\\\\\\b)\ \ \int (2x+1)^5\, dx=\Big[\ t=2x+1\ ,\ dt=2\, dx\ \Big]=\frac{1}{2}\int t^5\, dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^6}{6}+C=\\\\=\frac{(2x+1)^6}{12}+C\\\\\\3)\ \ \int e^{7-x}\, dx=\Big[\ t=7-x\ ,\ dt=-dx\ \Big]=-\int e^{t}\, dt=-e^{t}+C=\\\\=-e^{7-x}+C$

$\displaystyle \bf 4)\ \ \int \frac{dx}{\sqrt{4-2x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{2\, (2-x^2)}}=\frac{1}{\sqrt2}\int \frac{dx}{\sqrt{2-x^2}}=\frac{1}{\sqrt2}\int \frac{dx}{\sqrt{(\sqrt2)^2-x^2}}=\\\\=\Big[\ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{a}+C\ \Big]=\frac{1}{\sqrt2}\cdot arcsin\frac{x}{\sqrt2}+C$

Либо можно было так.

$\bf \displaystyle 4)\ \ \int \frac{dx}{\sqrt{4-2x^2}}=\int \frac{dx}{\sqrt{4\Big (1-\dfrac{x^2}{2}\Big)}}=\frac{1}{\sqrt4}\int \frac{dx}{\sqrt{1-\dfrac{x^2}{2}}}=\\\\=\Big[\ t=\frac{x}{\sqrt2}\ ,\ dt=\frac{1}{\sqrt2}\, dx\ \Big]=\dfrac{\sqrt2}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot arcsin\, t+C=\\\\=\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot arcsin\frac{x}{\sqrt2}+C$