Question

Объясните пожалуйста какие формулы тригонометрии применили в решении и как вывели это

Answer 1

Решение.

 $\bf cos8a-ctg4a\cdot sin8a=-1$  

1)  Перенесём (-1) влево, а  ctg4a*sin8a вправо , получим

$\bf 1-cos8a=ctg4a\cdot sin8a$  

Формула понижения степени :  $\bf sin^2x=\dfrac{1-cos2x}{2}$  .  Если  $\bf 2x=8a$  ,  то  

$\bf 1-cos8a=2\, sin^24a$  .   Запишем   $\bf ctg4a=\dfrac{cos4a}{sin4a}$  .  Тогда имеем  

$\bf 2\, sin^24a=\dfrac{cos4a}{sin4a}\cdot sin8a$  

Разделим равенство на  $\bf cos4a\ne 0$  , получим

$\bf \dfrac{2\, sin^24a}{cos4a}=\dfrac{sin8a}{sin4a}$  

Применим формулу синуса двойного угла.

$\bf \dfrac{2\, sin^24a}{cos4a}=\dfrac{2\cdot sin4a\cdot cos4a}{sin4a}\\\\\dfrac{2sin^24a}{cos4a}=2\cdot cos4a\\\\2\, sin^24a=2\, cos^24a$

То есть видишь, что при том решении, которое записано у тебя,  допущено много ошибок. Это решением назвать нельзя.  Задание не решено .

2)

Можно было воспользоваться формулами двойных углoв косинуса

и синуса :  $\bf cos^28a=cos^24a-sin^24a\ ,\ \ sin8a=2\cdot sin4a\cdot cos4a$  , а

также тригонометрической единицей $\bf sin^24a+cos^24a=1$  .

  $\bf \underbrace{\bf (cos^24a-sin^24a)}_{cos8a}-\dfrac{cos4a}{sin4a}\cdot \underbrace{\bf 2\, sin4a\cdot cos4a}_{sin8a}=-1\\\\cos^24a-sin^24a-2\, cos^24a=-1\\\\-cos^24a-sin^24a=-1\\\\-\underbrace{\bf (sin^24a+cos^24a)}_{1}=-1\\\\-1=-1$

3)  Проще было привести к общему знаменателю и применить формулу синуса разности .

 $\bf cos8a-ctg4a\cdot sin8a=-1\\\\\bf cos8a-\dfrac{cos4a}{sin4a}\cdot sin8a=-1\\\\\dfrac{sin4a\cdot cos8a-cos4a\cdot sin8a}{sin4a}=-1\\\\\dfrac{sin(4a-8a)}{sin4a}=-1\\\\\dfrac{sin(-4a)}{sin4a}=-1\\\\\dfrac{-sin4a}{sin4a}=-1\\\\-1=-1$