Question

Варіант 2
Початковий рівень
(1 б) Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення:
А) Протилежного катета до гіпотенузи
Б) Прилеглого катета до гіпотенузи
В) Протилежного катета до прилеглого катета
Г) Прилеглого катета до протилежного катета


(1 б) Правильно записана тригонометрична тотожність:
А) sin2α+sin2β=1
Б) sin2α+cos2β=1
В) sin2α+sin2α=1
Г) tg α∙ctg α=1


(1 б) У прямокутному трикутнику MAT, ∠A=90°, cos M =0,2. Знайдіть sin T .
А) 0,2
Б) 0,8
В) 0,4
Г) Неможливо визначити


Середній рівень
(1,5 б) У прямокутному трикутнику MAT, ∠A=90°, AH – висота, MT=13, MA=5. Знайдіть AH, відповідь округліть до десятків.

(1,5 б) Діагоналі ромба дорівнюють 2 і 23. Знайдіть синус кута між більшою діагоналлю та стороною ромба.

Достатній рівень
(1 б) У прямокутній трапеції менша бічна сторона дорівнює 8 см, більша основа дорівнює 16 см, а менша – 10 см. Знайдіть синус і косинус гострого кута трапеції.

(2 б) Знайдіть тангенс кута при вершині рівнобедреного трикутника, якщо висота проведена до бічної сторони менша за цю сторону в 3 рази.

Високий рівень
(3 б) Доведіть основну тригонометричну тотожність.

Answer 1

А) Протилежного катета до гіпотенузи.

А) sin2α+sin2β=1.

Г) Неможливо визначити (адже для знаходження sin T потрібно знати значення протилежного катета, але в задачі немає жодних даних про цей катет).

Середній рівень:

1.5 б) AH = 12,24 (застосовуючи теорему Піфагора та використовуючи відомі відношення між сторонами прямокутного трикутника).

1.5 б) sin θ = 21/23.

Достатній рівень:

А) Синус гострого кута трапеції дорівнює висоті, поділеній на гіпотенузу, тобто sin α = 8/17. Косинус гострого кута дорівнює різниці основ трапеції, поділеної на довжину бічної сторони, тобто cos α = (16-10)/17 = 6/17.

Нехай висота трикутника дорівнює h, а бічна сторона дорівнює b. Тоді за теоремою Піфагора: $\sqrt{(b/2)^2+h^2}=b$. Розв'язуючи це рівняння, отримуємо: $h = \sqrt{3}/2 * b$, і, отже, тангенс кута при вершині дорівнює: $tg \alpha = h/(b/2) = \sqrt{3}/3$.

Високий рівень:

Для доведення основної тригонометричної тотожності ми можемо скористатися теоремою Піфагора та визначеннями тригонометричних функцій. Нехай маємо прямокутний трикутник з катетами a та b та гіпотенузою c. Тоді з теореми Піфагора маємо: $c^2=a^2+b^2$. Поділимо обидві частини на $c^2$ і запишемо результат у вигляді: $1=(a/c)^2+(b/c)^2$. За визначенням тригонометричних функцій, $sin \alpha = a/c$ т