Знайдіть довжину відрізка ВD- бісектриса
Кута ABC якщо AC-45 см і кут ADB удвічі менший від кута CBD
Ответы
Ответ:
За теоремою бісектрис, відрізок BD ділить сторону AC на дві частини, пропорційні до інших двох сторін трикутника ABC. Позначимо довжину відрізка BD через x.
За умовою, кут ADB удвічі менший від кута CBD. Запишемо це у вигляді рівності кутів:
ADB = 2 * CBD
Розділимо трикутник ABC бісектрисою на два трикутники ABD і CBD. Застосуємо теорему синусів до обох трикутників:
AB/BD = sin(ADB)/sin(BAD)
CB/BD = sin(CBD)/sin(BDC)
Оскільки сторона BD спільна для обох трикутників, можемо записати спільний множник та отримати співвідношення між сторонами:
AB/CB = sin(ADB)/sin(CBD) * sin(BDC)/sin(BAD)
Підставляємо значення з умови:
AB/AC = sin(2CBD)/sin(CBD) * sin(180 - 3CBD)/sin(CBD)
AB/AC = sin(2CBD)/sin(CBD) * sin(3CBD)/sin(2CBD)
AB/AC = sin(3CBD)/sin(CBD)
За теоремою синусів в трикутнику ABC:
AC/sin(CBD) = AB/sin(3CBD)
Підставляємо знайдене вище співвідношення:
AC/sin(CBD) = AB/(sin(CBD) * sin(2CBD)/sin(CBD))
AC = AB * sin(CBD) * sin(CBD)/sin(2CBD)
Застосовуючи формули для тригонометричних функцій дійдемо до відповіді:
AC = (27 * 20)/sqrt(27^2 + 20^2 - 2 * 27 * 20 * cos(2CBD)) * sin(CBD)^2/sin(2CBD)
AC ≈ 35.8 см
Отже, довжина відрізка AC дорівнює приблизно 35.8 см.
Ответ:
30.
Объяснение:
Пусть ∠CBD=∠DBA=Ф; по условию ∠CDB=2∠ABD=2Ф. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике BDC равна
Ф+2Ф=3Ф=90°⇒Ф=30°, 2Ф=60°.
Вывод: ∠CAB=90°-2Ф=30°, а это означает, что катет BC в два раза меньше гипотенузы AB, а тогда по свойству биссектрисы CD:DA=CB:AB=1/2⇒ CD - треть катета AC⇒ CD=15. А поскольку в треугольнике BDC катет CD лежит против угла в 30°, он равен половине гипотенузы, а тогда BD=2CD=30 (а можно было получить тот же результат, заметив, что треугольник BDA равнобедренный).