Question

ДАЮ 100 БАЛОВ СРОЧНО ОДНА ЗАДАЧА!
Гострий кут паралелограма дорівнює 45°. Знайдіть висоту паралелограма, якщо його периметр дорівнює 80 , а діагональ ділить його тупий кут у відношенні 1: 2.

Answer 1

Оскільки гострий кут паралелограма дорівнює 45°, то паралелограм є ромбом. Отже, діагоналі ромба перпендикулярні одна до одної і діляться пополам.

Позначимо сторону ромба як a і висоту як h. Оскільки ромб є паралелограмом, то його протилежні сторони рівні за довжиною, тому a = (80 / 4) = 20.

Оскільки діагональ ділить тупий кут у відношенні 1:2, то одна діагональ ділиться на три частини, причому дві з них мають однакову довжину, а третя - удвічі довша. Позначимо діагоналі ромба як d1 і d2.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного діагоналями ромба і висотою, маємо:

(d1/2)^2 + (d2/2)^2 = h^2

Також маємо рівності:

d1 = 2acos(45°) = 20sqrt(2)

d2 = 2hsin(45°) = hsqrt(2)

Оскільки діагоналі діляться пополам, то:

d1/2 = 10*sqrt(2)

d2/2 = h*sqrt(2)/2

Тоді рівняння Піфагора має вигляд:

(10sqrt(2))^2 + (hsqrt(2)/2)^2 = h^2

200 + h^2/4 = h^2

h^2/4 = 200

h^2 = 800

h = 20*sqrt(2)

Отже, висота паралелограма дорівнює 20*sqrt(2) одиниць.