7 cos x -2cos2x=0. 2-2tgx=2tg²x пж уравнения
Ответы
Ответ:
Первое уравнение
Применим формулы для косинуса двойного угла:
cos2x = 2cos^2x - 1
тогда уравнение можно переписать в виде:
7cos x - 4cos^2x + 2 = 0
Замена cos x = y позволит переписать уравнение в квадратном виде:
-4y^2 + 7y + 2 = 0
Решая квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта, получаем:
D = 7^2 - 4*(-4)*2 = 81
y1 = (-7 + 9)/(-8) = 1/4
y2 = (-7 - 9)/(-8) = 1
Отсюда:
cos x = 1/4 или cos x = 1
Решая эти уравнения, получаем:
x = arccos(1/4) + 2πk или x = 2πk или x = -arccos(1/4) + 2πk, где k - целое число.
Второе уравнение
Начнем с упрощения уравнения, раскрыв квадрат:
2 - 2tg(x) = 2tg²(x)
2 - 2tg(x) = 2(tan²(x))
2 - 2tg(x) = 2sec²(x) - 2
Тогда мы можем получить квадратное уравнение относительно tg(x):
2tg²(x) - 2tg(x) - 2 = 0
Решим его с помощью формулы дискриминанта:
D = b² - 4ac
D = (-2)² - 4(2)(-2)
D = 20
tg(x) = (2 ± √20) / 4
tg(x) = (1 ± √5) / 2
Итак, имеем два решения:
tg(x) = (1 + √5) / 2 tg(x) = (1 - √5) / 2
x = arctan((1 + √5) / 2) ≈ 51.8° или x = arctan((1 - √5) / 2) ≈ -38.2°
Таким образом, уравнение имеет два решения: x ≈ 51.8° и x ≈ -38.2°.