1. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 16, а периметр треугольника равен 60. Найдите площадь треугольника.
Ответы
Пусть треугольник ABC имеет вписанную окружность с радиусом r, точки касания окружности с сторонами треугольника обозначим как D, E и F (так, что AD, BE и CF являются биссектрисами).
По определению, радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра окружности до каждой из сторон треугольника. Поэтому, каждый отрезок AD, BE и CF равен r.
Также, по теореме о биссектрисе, мы знаем, что отрезок AD делит сторону BC на две части пропорционально другим двум сторонам треугольника, то есть:
BD/DC = AB/AC
Аналогично, можем написать два других уравнения:
CE/EA = BC/AB
AF/FB = AC/BC
Заметим, что BD+DC=BC, CE+EA=AC, и AF+FB=AB. Отсюда выражаем BD, CE и AF через стороны треугольника:
BD = BC - DC = (a + b - c)/2
CE = AC - EA = (a + c - b)/2
AF = AB - FB = (b + c - a)/2
где a, b и c - стороны треугольника.
Теперь, площадь треугольника можно найти по формуле Герона, используя полупериметр p=(a+b+c)/2 и стороны треугольника a, b и c:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
где sqrt - квадратный корень.
Мы знаем, что периметр треугольника равен 60, то есть a+b+c=60. Также, по условию задачи радиус вписанной окружности равен 16, то есть r=16. Заменяя значения BD, CE и AF в уравнениях для биссектрис, получаем:
b/(a+c-b) = c/(a+b-c) = a/(b+c-a) = r/(p-r)
Подставляя значение радиуса и периметра, получаем:
b/(a+c-b) = c/(a+b-c) = a/(b+c-a) = 16/(60-16) = 4/11
Решив систему уравнений, находим:
a = 36, b = 21, c = 3*sqrt(221)
Теперь можем найти полупериметр:
p = (a+b+c)/2 = 39 + (3/2)*sqrt(221)
И, наконец, площадь треугольника:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt(39*(3/2)sqrt(221)(39-36)(18-21)(39-3*sqrt(221))) = 18sqrt(221) квадратных единиц.