СРОЧНО!
Знайдіть кут між бісектрисою та медіаною
прямокутного трикутника, які проведені з вершини
прямого кута, якщо один із гострих кутів цього
трикутника дорівнює 80 градусів. Побудувати рисунок
до задачі, записати коротку умову, розв'язати з
обґрунтуванням
Ответы
Ответ:
Умова задачі: в прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 80 градусів. Знайти кут між бісектрисою та медіаною, проведеними з вершини прямого кута.
Побудуємо прямокутний трикутник ABC з прямим кутом в точці С, так що кут А дорівнює 80 градусів.
image-1.png
Проведемо медіану AM, де M - середина AB, і бісектрису AN, де N - точка дотику бісектриси з AB.
Так як трикутник ABC є прямокутним, то AM є також висотою, і він ділить прямокутник ABB'A' на дві рівні частини. Також відомо, що в трикутнику ABC бісектриса AN ділить сторону AB на дві частини відповідно до пропорції величин суміжних катетів BC та AC.
image-2.png
Позначимо кут між медіаною AM та гіпотенузою BC через α, а кут між бісектрисою AN та стороною AB через β.
Оскільки медіана AM ділить прямокутник ABB'A' на дві рівні частини, то кути AAM та AMB' є рівними. А так як трикутник ABC є прямокутним, то кути ABC та ABL також є рівними (де L - точка перетину бісектриси AN з прямою BC). Отже, кути ABC та AMB' є рівними.
image-3.png
З іншого боку, в трикутнику ABN кути ABN та NBL також є рівними, оскільки бісектриса AN ділить сторону AB на дві частини відповідно до пропорції суміжних катетів BC та AC. Отже, кути ABL та ABN є рівними.
image-4.png
Звідси маємо: β = ABL = ABN.
Так як кути ABC та AMB' є рівними, то β +
Объяснение: