ДАЮ 45 БАЛЛОВ!
1. Доведіть рівність прямокутних трикутників за висотою, проведеною з
вершини прямого кута, і кутом, який ця висота утворює з одним із катетів.
на русском: Докажите равенство прямоугольных треугольников за высотой, проведенной из вершины прямого угла, и углом, который эта высота образует с одним из катетов.
2. У трикутнику АВС кут С – прямий, кут В дорівнює 30 градусів. Серединний
перпендикуляр відрізка АВ перетинає його в точці М, а відрізок ВС – в точці
К. Доведіть, що відрізок МК втричі менший від сторони ВС.
на русском: В треугольнике АВС угол С - прямой, угол В равен 30 градусов. Срединный перпендикуляр отрезка АВ пересекает его в точке М, а отрезок ВС - в точке К. Докажите, что отрезок МК втрое меньше стороны ВС.
Ответы
Відповідь:
1.Нехай ABC і ABD - прямокутні трикутники з прямим кутом у вершині A, висотою BD, яка перетинає BC під кутом γ. Тоді AB = AB, BD - спільна сторона, і кут ABC = γ + DAB. Оскільки AB однакові в обох трикутниках, а кут ABC = 90 градусів + кут DAB, то за означенням тангенсу, tg ABC = tg DAB. Отже, прямокутні трикутники ABC і ABD є рівними за висотою, проведеною з вершини прямого кута, і кутом, який ця висота утворює з одним із катетів.
2.Оскільки кут С - прямий, то МК є серединним перпендикуляром до сторони ВС. Отже, відрізок МК ділить сторону ВС навпіл, тобто МК = КВ/2. Також за властивостями серединного перпендикуляра, АМ = МВ. З кута В, що дорівнює 30 градусам, маємо, що AM/AB = sin 30° = 1/2. Отже, АМ = AB/2. Знову за властивостями серединного перпендикуляра, КВ = 2КМ = 2АМ = AB. Тоді МК = КВ/2 = AB/2, а ВС = AB + КВ = 3AB. Отже, МК = AB/2, а ВС = 3AB. Таким чином, МК втричі менший за ВС.