Question

Площа трикутника А1В1С1 дорівнює 22,5 см^2.Він є ортогональною проекцією трикутника АBC зі сторонами 6 см 10 см 14см. Знайдіть кут між площинами АВС і А1В1С1

Answer 1

Ответ:

Спочатку знайдемо довжини сторін трикутника А1В1С1. Оскільки він є ортогональною проекцією трикутника ABC, то відповідні сторони є пропорційними за коефіцієнтом, що дорівнює косинусу кута між площинами, на яких лежать ці трикутники. Оскільки ми шукаємо саме цей кут, то спочатку знайдемо цей косинус.

За формулою площі трикутника:

22.5 = (1/2) * AB * AC * sin(BCA)

де BCA - кут між сторонами AB і AC.

За теоремою косинусів:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(BCA)

Підставляємо значення сторін трикутника ABC і знаходимо cos(BCA):

196 = 100 + 36 - 120 * cos(BCA)

cos(BCA) = 5/8

Тепер знаходимо довжини сторін трикутника A1B1C1:

A1B1 = AB * cos(BCA) = 6 * 5/8 = 15/4 см

A1C1 = AC * cos(ACB) = 14 * 3/5 = 42/5 см

B1C1 = BC * cos(BC1) = 10 * 3/4 = 15/2 см

Застосуємо теорему Піфагора для трикутника A1B1C1:

(A1B1)^2 + (A1C1)^2 = (B1C1)^2

(15/4)^2 + (42/5)^2 = (15/2)^2

Після скорочень отримуємо:

441/100 = (225/4) * (1 - cos^2(ABC))

cos(ABC) = √(7/25)

Таким чином, кут між площинами АВС і А1В1С1 дорівнює:

θ = arccos(cos(ABC)) = arccos(√(7/25)) ≈ 50.5°

Відповідь: кут між площинами АВС і А1В1С1 приблизно дорівнює 50.5°.