Question

дано |ā|=3, |b|=5, |ā+b|=7 знайдіть |ā-b|

Answer 1

Мы можем использовать формулу расстояния между точками для векторов $a$ и $b$:

$|a-b| = \sqrt{(a-b) \cdot (a-b)}$

Здесь $(a-b)$ представляет разность векторов, то есть $(a-b) = a + (-b)$. Используя правило дистрибутивности для скалярного произведения, получаем:

$|a-b| = \sqrt{(a-b) \cdot (a-b)} = \sqrt{(a+(-b)) \cdot (a+(-b))} = \sqrt{a \cdot a - 2a \cdot b + b \cdot b}$

Мы знаем, что $|a+b| = 7$, поэтому:

$(a+b) \cdot (a+b) = |a+b|^2 = 49$

Раскрыв скобки, получим:

$a \cdot a + 2a \cdot b + b \cdot b = 49$

Аналогично, зная $|a|=3$ и $|b|=5$, мы можем записать:

$a \cdot a = |a|^2 = 9$

$b \cdot b = |b|^2 = 25$

Теперь мы можем вычислить $|a-b|$:

$|a-b| = \sqrt{a \cdot a - 2a \cdot b + b \cdot b} = \sqrt{9 - 2a \cdot b + 25} = \sqrt{34 - 2a \cdot b}$

Осталось только найти $a \cdot b$. Для этого воспользуемся теоремой косинусов:

$|a+b|^2 = |a|^2 + 2|a||b|\cos{\theta} + |b|^2$

Здесь $\theta$ - угол между векторами $a$ и $b$. Мы знаем, что $|a+b|=7$, $|a|=3$, и $|b|=5$, поэтому:

$7^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos{\theta} + 5^2$

$49 = 9 + 30 \cos{\theta} + 25$

$15 = 30 \cos{\theta}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

Таким образом, угол между векторами $a$ и $b$ равен $60^\circ$. Используя определение скалярного произведения, получаем:

$a \cdot b = |a||b|\cos{\theta} = 3 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$

И, наконец, мы можем вычислить $|a-b|$:

$|a-b| = \sqrt{34 - 2a \cdot b} = \sqrt{34 - 2 \cdot \frac{15}{2}} = \sqrt{19}$

Ответ: $|a-b|=\sqrt{19}$.