Question

об'єм циліндра дорівнює 6π дм^3, а діагональ його осьового перерізу утворює з площиною основи кут 30 градусів. знайдіть площу осьового перерізу циліндра

Answer 1

Ответ:

Діагональ осьового перерізу циліндра є діаметром його основи. Тому радіус основи циліндра дорівнює половині діаметра, тобто $\frac{1}{2} d$, де $d$ - діагональ осьового перерізу.

Площа основи циліндра дорівнює $S = \frac{V}{h} = \frac{6\pi}{h}$, де $V$ - об'єм циліндра, $h$ - його висота.

За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника з кутом 30 градусів і двома катетами $a$ та $b$ виконується співвідношення $a = b\sqrt{3}$.

Тому $\frac{1}{2} d = r = h\sqrt{3}$, або $d = 2r = 2h\sqrt{3}$.

Запишемо формулу для площі основи через діаметр:

$$S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (2h\sqrt{3})^2}{4} = 3\pi h^2.$$

Підставляючи значення $S = \frac{6\pi}{h}$, отримаємо:

$$3\pi h^2 = \frac{6\pi}{h}.$$

Розв'язуючи це рівняння відносно $h$, отримаємо:

$$h = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816 \text{ дм}.$$

Отже, площа осьового перерізу циліндра дорівнює:

$$S = 3\pi h^2 \approx 6.67 \text{ см}^2.$$