Question

Основа піраміди - рівнобедрений трикутник з бічною стороною а і кутом альфа при вершині. Навколо i піраміди описано конус, твірна якого нахилена до площини основи під кутом гама. Знайдіть висоту

Answer 1

Де AB = AC = a - бічна сторона рівнобедреного трикутника, альфа - кут при вершині, CO - висота піраміди, О - центр описаного конуса, гама - кут нахилу твірної до площини основи.

Оскільки трикутник ABC рівнобедрений, то його висота з вершини C перетинає основу AB і точку перетину, позначимо її як D, ділить на дві рівні частини.

Оскільки О лежить на бісектрисі кута CAB (оскільки О - центр описаного конуса), то AD = DB = a/2.

Далі, оскільки гама - кут нахилу твірної конуса до площини основи, то кут ADC = 90 - гама. Оскільки AD = a/2, а DC - висота трикутника ADC, то використовуючи теорему Піфагора, ми можемо знайти DC:

DC² = AD² + AC²
DC² = (a/2)² + a²
DC² = a²/4 + 4a²/4
DC² = 5a²/4
DC = a√5/2

Нарешті, використовуючи теорему Піфагора для трикутника COD, ми можемо знайти висоту CO описаного конуса:

CO² = CD² + OD²
CO² = (a√5/2)² + (a/2)²
CO² = 5a²/4 + a²/4
CO² = 6a²/4
CO = a√6/2

Таким чином, висота описаного конуса дорівнює CO = a√6/2.