Три числа x1, x2, x3 утворюють зростаючу арифметичну прогресію. 1) Знайдіть х2, якщо сума цієї прогресії дорівнює 12. 2) Якщо до х1 і хз додати по 1, a x2 залишити без змін, то отримаємо геометричну прогресію.
Ответы
Ответ:
Нехай загальна різниця арифметичної прогресії дорівнює d. тоді ми маємо:
x2 = x1 + d
x3 = x1 + 2d
Сума арифметичної прогресії задається формулою:
x1 + x2 + x3 = 3x2
Підставляючи вирази для x2 і x3, ми отримуємо:
x1 + (x1 + d) + (x1 + 2d) = 3(x1 + d)
Спрощуючи, ми отримуємо:
3x1 + 3d = 3x1 + 3d
Це рівняння виконується для будь-яких значень x1 і d, оскільки ліва і права частини рівні. Однак нам дано, що сума арифметичної прогресії дорівнює 12. Отже, у нас є:
x1 + x2 + x3 = 12
Підставляючи вираз для x2, ми отримуємо:
x1 + (x1 + d) + (x1 + 2d) = 12
Спрощуючи, ми отримуємо:
3x1 + 3d = 12
Ділячи на 3, ми отримуємо:
x1 + d = 4
Підставляючи вираз для x2, ми отримуємо:
x2 = x1 + d = 4 - d
Отже, значення x2 залежить від значення d. ми не можемо визначити x2 без додаткової інформації про значення d.
Якщо додати 1 до x1 і x3 і залишити x2 незмінним, ми отримаємо:
x1 + 1 = x2
x3 + 1 = x2 + d
Це утворює геометричну прогресію із загальним співвідношенням r, оскільки:
(x1 + 1) * r = x2
x2 * r = x3 + 1
Підставляючи вирази для x2 і x3, ми отримуємо:
(x1 + 1) * r = x1 + d
(x1 + d) * r = x1 + 1 + d
Розділивши друге рівняння на перше рівняння, ми отримуємо:
r = (x1 + 1 + d) / (x1 + d)
Оскільки загальне відношення геометричної прогресії не може дорівнювати нулю, ми повинні мати:
x1 + d ≠ -1
Спрощуючи вираз для r, ми отримуємо:
r = 1 + 1 / (x1 + d)