Question

Доведіть тотожності/докажите тождества:
tga/tga+ctga=sin^2 a

$\frac{tga}{tga+ctga}=sin^{2} a$

Answer 1

Ответ:

Почнемо з лівої сторони тотожності:

$\frac{tga}{tga+ctga}$

Можемо записати ctga як 1/tg a, отже:

$\frac{tga}{tga+\frac{1}{tg a}}$

Складаємо знаменник за допомогою спільного знаменника:

$\frac{tga \cdot tg a}{tga \cdot tg a +1}$

Застосуємо тригонометричну тотожність:

$tg^{2} a + 1 = \frac{1}{cos^{2} a}$

Тоді можемо переписати чисельник так:

$tga \cdot tg a = \frac{sin^{2} a}{cos^{2} a}$

Підставимо це в остаточний вираз:

$\frac{tga \cdot tg a}{tga \cdot tg a +1} = \frac{\frac{sin^{2} a}{cos^{2} a}}{\frac{sin^{2} a}{cos^{2} a} + 1}$

Складаємо знаменник за допомогою спільного знаменника:

$\frac{\frac{sin^{2} a}{cos^{2} a}}{\frac{sin^{2} a + cos^{2} a}{cos^{2} a}} = \frac{sin^{2} a}{sin^{2} a + cos^{2} a} = sin^{2} a$

Таким чином, ми довели, що $\frac{tga}{tga+ctga}=sin^{2} a$.