1. У колі із центром О проведено діаметр MN i хорду MK. Відомо, що кут MOK дорівнює 110°. Знайдіть кути трикутника MNK
2. Пряма BC проходить через точку B кола із центром О. Відомо, що кут AOB дорівнює 126°, кут ABC дорівнює 63°. Доведіть, що пряма BC дотична до кола
3. Через точку B до кола із центром О проведено дотичні BC і BD (C i D точки дотику). Пряма ВО перетинає відрізок CD у точцi F. Відомо, що кут CBD дорівнює 60°, ВО дорівнює 36 см. Знайдіть відрізок OF
1 и 3 задачи пожалуйста с рисунком
Ответы
Відповідь:
1 задача Оскільки OM є діагоналлю, то кут MON = 90°. Звідси MO = NO, оскільки OM = ON.
Також, оскільки кут MOK дорівнює 110°, то кут NOK = (180°-110°)/2 = 35°.
Тоді кути трикутника MNK можна знайти за формулою суми кутів у трикутнику:
MKO + KOM + KON = 180°
Кут KOM = (180°-110°)/2 = 35°
Кути MKO та KON однакові, оскільки вони протилежні та опираються на одну і ту ж дугу MK. Тому, кожен з них дорівнює:
(180°-35°-90°)/2 = 27.5°
Отже, кути трикутника MNK дорівнюють:
MKO = KOM = 35°
KON = KNO = 27.5°
MON = MNO = 90°.
2 задача Оскільки пряма BC проходить через точку B кола із центром О, то OB є радіусом кола і пряма BC є касательною до кола у точці B.
Оскільки кут ABC дорівнює 63°, то кут OBA = 90° - 63°/2 = 61.5° (оскільки радіус кола є перпендикулярним до дотичної прямої у точці дотику).
Також, оскільки кут AOB дорівнює 126°, то кут OAB = (180° - 126°)/2 = 27°.
Отже, за теоремою про кут між касательною та радіусом, кут між прямою BC та радіусом OB у точці B дорівнює:
∠OBC = ∠OBA - ∠ABC = 61.5° - 63° = -1.5°
Оскільки цей кут від'ємний, то пряма BC насправді знаходиться невеликою відстанню з одного боку від точки дотику. Але оскільки ця відстань дуже мала, можна згідно з прийнятими в геометрії наближеннями вважати, що пряма BC дотична до кола у точці B.
3 задача Оскільки BC і BD є дотичними до кола, то кути CBD і BCD є прямими кутами, а значить, чотирикутник BCDO є прямокутним. Тоді BO є гіпотенузою, а OD і OC - катетами.
За теоремою Піфагора:
OD² + OC² = CD²
Адже OD = OC, оскільки це відрізки дотику з колом:
2OD² = CD²
OD = CD / √2
Також за теоремою Піфагора:
OB² = OD² + BD²
OB² = OD² + BC², оскільки BD і BC є дотичними до кола і, отже, мають однакову довжину.
OB² = OD² + (OD√2)², замінюючи BD на OD√2
OB² = 3OD²
OB = OD√3
Отже, OD = BO / √3
Тепер звернемось до трикутника ОCF. За теоремою синусів:
OF / sin(60°) = OC / sin(30°)
OC = OD√2, оскільки трикутник OCD є прямокутним і містить кут 45°.
OF / 1/2 = OD√2
OF = OD√2 / 2
OF = (BO / √3) * √2 / 2
OF = BO / (2√3)
Отже, відрізок OF дорівнює BO / (2√3) або 6 см. (якщо BO = 12 см, наприклад).
Пояснення: