Question

вычислить используя правило Лопителя ​

Answer 1

Ответ:

а) $\dfrac{8}{\pi^2};$. б) 1

Объяснение:

a) $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(1-x)^2}{1-\sin(\pi x/2)}=\left[\dfrac{0}{0}\right]=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\left((1-x)^2\right)'}{\left(1-\sin(\pi x/2)\right)'}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{2(1-x)\cdot (-1)}{-\cos(\pi x/2)\cdot (\pi/2)}=$

$=-\dfrac{4}{\pi}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x-1}{\cos(\pi x/2)}=\left[\dfrac{0}{0}\right]= -\dfrac{4}{\pi}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)'}{(\cos(\pi x/2))'}=-\dfrac{4}{\pi}\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{1}{-\sin(\pi x/2)\cdot (\pi/2)}=$

                                                      $=\dfrac{8}{\pi^2}.$

б).               $\lim\limits_{x\to 0} (3x)^{\sin 2x}=\left[0^0\right]=\lim\limits_{x\to 0}e^{\ln (3x)^{\sin 2x}}=e^{\lim\limits_{x\to 0}\sin 2x\cdot \ln (3x)};$

$\lim\limits_{x\to 0}(\sin 2x\cdot \ln(3x))=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(3x)}{\frac{1}{\sin 2x}}=\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\frac{1}{3x}\cdot 3}{-\frac{1}{\sin^2 2x}\cos 2x\cdot 2}=$

$=-\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1}{\cos 2x}\cdot\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 2x}{x}=\left[\dfrac{0}{0}\right]=-\dfrac{1}{2}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2\sin 2x\cdot \cos 2x\cdot 2}{1}=0\Rightarrow$

$\lim\limits_{x\to 0} (3x)^{\sin 2x}=e^0=1.$