Question

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, разбивает ее на два треугольника с площадями 4 и 16. Найти длину гипотенузы

Answer 1

Обозначим треугольник АВС. АВ основание, угол С прямой. Из С на АВ опустим высоту СД. Она делит треугольник АВС на два подобных треугольника площади которых относятся как квадраты сходственных сторон . Пусть ДВ=Х, СД=Н, тогда Scдв/Scда=Хквадрат/Н квадрат=4/16.  Отсюда Х=H/2.  Площадь треугольника СДВ равна Sсдв=1/2*Х*Н=4. Подставляем значение Х, получим Sсдв=1/2*H/2*H=4. Отсюда Н=4. Тогда Х=Н/2=2. Площадь треугольника  АВС равна Sавс=1/2*АВ*Н=16+4.  Подставляем  Н, получим Sавс=1/2*АВ*4=20, отсюда АВ=10.