Question

6. Упростите, используя формулы двойного угла (1 + sin(270 + 2x) - sin 2x)/(sin x - cos x)​

Answer 1

Объяснение:

sin 2x = 2 sin x cos x

cos 2x = cos²x - sin²x = 1 - 2sin²x

270 + 2x = 90 + (2x + 180), тогда:

1 + sin(270 + 2x) = 1 - sin(2x + 90) = 1 - cos 2x

Подставим эти выражения в исходное:

(1 + sin(270 + 2x) - sin 2x)/(sin x - cos x) = (1 - cos 2x - 2 sin x cos x)/(sin x - cos x)

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов:

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

cos x - cos 2x = cos x - (1 - 2sin²x) = 2sin²x - cos x + 1

Тогда исходное выражение примет вид:

(1 - cos 2x - 2 sin x cos x)/(sin x - cos x) = (2sin²x - cos x + 1 - cos 2x - 2 sin x cos x)/(sin x - cos x)

= (sin²x - 2sin x cos x - cos²x + 1)/(sin x - cos x)

= ((sin x - cos x)²)/(sin x - cos x)

= sin x - cos x

Ответ: sin x - cos x.