Question

Дослідити функцію на екстремум y=$\frac{x^{2}+3 }{x+1}$

Answer 1

Ответ: Точки экстремума функции х=-3 (точка максимума -   экстремум равен -6) и х=1 (точка минимума -экстремум равен 2)

При х=-1   функция имеет разрыв.

Пошаговое объяснение:

Найдем производную, воспользовавшись формулой

(v(x)/g(x))' = (v' (x)*g(x)-g'(x)*v(x))/(g(x))²

v(x)=x²+3  => v'(x)=2x  

g(x)= x+1  => g'(x)=1

y' =(2x*(x+1)-x²-3)/(x+1)²

y' =0 => (2x*(x+1)-x²-3) =0   x≠-1

2x²+2x-x²-3 =x²+2x-3=0

x1= -3      x2=1

Проверим знак производной при x<-3  (при этом заметим, что знаменатель производной число положительное для всех х

Поэтому рассмотрим только знак числителя)

Итак при x<-3

x= -10   =>    (-10)²+2*(-10)-3=77>0 ,

Проверим знак производной при -3<x< -1

x=-2 =>  y'(-2) =(4-4-3)(-2+1) <0

Проверим знак производной при -1<x< 1

x=0 => f'(x)=-3/1=-3<0

Проверим знак производной при x>1

x=10     ((10)²+2*(10)-3)/11 =117/11 >0 ,

=> при х=-3 и х=1 производная меняет знак.

Значит х=-3 и х=1 - точки экстремума функции

Так как при  х=-3  производная меняет знак с + на - , то при х=-3 функция имеет локальный максимум =y(-3)= (9+3)/(-2)=-6

Так как при  х=1  производная меняет знак с - на + , то при х=1 функция имеет локальный минимум =y(1)= (1+3)/(2)=2