Question

докажите тождество (1 + tg²a) * sin⁴a + cos²a = 1​

Answer 1

Ответ:

Для доказательства данного тождества мы воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Начнем с левой части:

(1 + tg²a) * sin⁴a + cos²a

= sin⁴a/cos²a + cos²a (по определению tg)

= sin⁴a/cos²a + cos⁴a/cos²a (приводим к общему знаменателю)

= (sin⁴a + cos⁴a) / cos²a (складываем дроби)

= (sin²a)² + (cos²a)² / cos²a (по формуле (sin²a + cos²a)² = sin⁴a + cos⁴a + 2sin²a cos²a)

= (sin²a/cos²a)² + 1 (приводим к общему знаменателю)

= tg²a + 1 (по определению tg)

= 1/cos²a (по тригонометрическому тождеству tg²a + 1 = 1/cos²a)

= 1 (по тригонометрическому тождеству 1/cos²a = 1 + tg²a)

Таким образом, левая часть равна правой части, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим правую часть равенства: 1.

Мы знаем, что sin²a + cos²a = 1 - это тригонометрическое тождество.

Теперь преобразуем левую часть: (1 + tg²a) * sin⁴a + cos²a.

Раскроем скобки: sin⁴a + tg²a * sin⁴a + cos²a.

Вынесем общий множитель sin⁴a: sin⁴a * (1 + tg²a) + cos²a.

Подставим вместо tg²a выражение sin²a / cos²a (используя определение тангенса): sin⁴a * (1 + sin²a / cos²a) + cos²a.

Приведём подобные слагаемые: sin⁴a * (cos²a + sin²a) / cos²a + cos²a.

Сократим дробь: sin⁴a * 1 / cos²a + cos²a.

Выразим sin²a через cos²a (используя тригонометрическое тождество): sin²a = 1 - cos²a.

Подставим это выражение: sin⁴a * 1 / cos²a + cos²a = (1 - cos²a)² / cos²a + cos²a.

Раскроем квадрат: (1 - 2cos²a + cos⁴a) / cos²a + cos²a.

Сократим дроби: 1 - 2cos²a + cos⁴a + cos²a * cos²a.

Сгруппируем члены с cos²a: 1 + cos⁴a - cos²a + cos²a.

Получаем: 1 + cos⁴a = 1 + cos⁴a, что и требовалось доказать.