ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!
До всіх задач необхідно виконувати рисунок, записувати коротку умову, повне та обґрунтоване розв’язання.
1) (Бали: 3)
Знайдіть градусні міри внутрішнього та зовнішнього кутів правильного тринадцятикутика.
2) (Бали: 3)
Кінці хорди, довжиною 6√2 см, ділять коло у відношенні 1:3. Знайдіть площі сегментів, що утворилися.
3) (Бали: 3)
Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію з основами 7 см і 13 см.
Ответы
Ответ:
У правильному тринадцятикутнику всі внутрішні кути дорівнюють 150 градусам, оскільки сума всіх внутрішніх кутів дорівнює 180(13-2) = 2340 градусів, а кожен внутрішній кут правильного тринадцятикутника дорівнює 180(13-2)/13 = 150 градусам.
Зовнішній кут буде дорівнювати 360/13 градусів, оскільки сума всіх зовнішніх кутів у будь-якому n-кутнику дорівнює 360 градусам, і кожен зовнішній кут правильного тринадцятикутника дорівнює 360/13 градусам.
Нехай O - центр кола, а AB - хорда, довжина якої дорівнює 6√2 см. Нехай M - середина AB, тоді OM = 3√2 см. Тому AM = MB = 3√2 см.
За теоремою про серединну перпендикуляр, OM є перпендикуляром до AB і перетинає його в точці D. Тому AD = DB = 3√2 см.
За теоремою про дотичну до кола, DM є дотичною до кола в точці D.
Для знаходження площі сегментів розділимо їх на дві частини, використовуючи трикутник AOD. Оскільки AOD є рівнобедреним трикутником, то кут AOD дорівнює 90 градусам.
Площа сегмента ADB складається з сектора AOB та трикутника AOD. Оскільки кут AOB дорівнює 120 градусам (оскільки це третина повного кута в колі), а радіус кола дорівнює 3√2 см (оскільки OM є серединним перпендикуляром до AB), то площа сектора AOB дорівнює (120/360)π(3√2)² = 3π см². Площа трикутника AOD дорівнює (1/2)(3√2)(3√2) = 9 см². Тому пло