У трикутнику ABC медіана AD вдвічі менша сторони BC. Знайдіть кут A
трикутника ABC.
Ответы
Ответ:
За властивостями медіан трикутника, медіана AD ділить сторону BC пополам і утворює дві рівні частини.
Нехай сторона BC має довжину а, тоді медіана AD має довжину а/2.
Оскільки медіана ділить сторону BC пополам, то за теоремою Піфагора для прямокутного трикутника ABD:
AB^2 = AD^2 + BD^2
Оскільки AB = AC (за властивостями медіан), то можемо записати:
AC^2 = AD^2 + CD^2
Оскільки AD = BD і CD = BC/2 = a/2, то:
AB^2 = 4AD^2 + a^2/4
AC^2 = 4AD^2 + a^2/4
Оскільки AB = AC, то:
4AD^2 + a^2/4 = 4AD^2 + a^2/4
4AD^2 = 0
AD = 0
Це означає, що точка D збігається з вершиною A, тобто медіана AD є бісектрисою кута A. Тому кут A ділиться на два рівні кути між медіаною AD та стороною BC.
Отже, кут A дорівнює 2 кутам, утвореним медіаною AD та стороною BC. Оскільки медіана AD ділить сторону BC пополам, то кожен з цих кутів дорівнює куту BAC/2.
Отже, кут A дорівнює 2 * (BAC/2) = BAC.
Отже, кут A дорівнює куту BAC, тобто куту при вершині A трикутника ABC.