3. Дана функция у = - x² - 2x + 3 . Не строя графика, найдите: - а) область определения функции. b) нули функции. c) наименьшее значение функции. [4]
Ответы
Ответ:
a) Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. Так как y определено для любого значения x, то область определения функции равна всей числовой прямой.
Область определения функции: x ∈ (-∞; +∞)
b) Найдем нули функции, т.е. значения x, при которых y = 0.
- x² - 2x + 3 = 0
- Для нахождения корней, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac
-2² - 4*(-1)*3 = 16
- x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a
x₁,₂ = (-(-2) ± √16) / 2*(-1)
x₁ = -1 + 2 = 1;
x₂ = -1 - 2 = -3;
Нули функции: (-3; 0) и (1; 0).
c) Поскольку коэффициент при x² отрицательный, то график параболы направлен вниз и достигает своего минимума в вершине параболы. Найдем координаты вершины параболы:
x₀ = -b / 2a
x₀ = -(-2) / 2*(-1)
x₀ = 1
y₀ = -x₀² - 2x₀ + 3
y₀ = -1 -2 + 3 = 0
Наименьшее значение функции равно 0.
Объяснение:
a) Область определения функции - это множество значений x, для которых функция определена. Так как y определено для любого значения x, то область определения функции равна всей числовой прямой.
Область определения функции: x ∈ (-∞; +∞)
b) Найдем нули функции, т.е. значения x, при которых y = 0.
- x² - 2x + 3 = 0
- Для нахождения корней, воспользуемся формулой дискриминанта:
D = b² - 4ac
-2² - 4*(-1)*3 = 16
- x₁,₂ = (-b ± √D) / 2a
x₁,₂ = (-(-2) ± √16) / 2*(-1)
x₁ = -1 + 2 = 1;
x₂ = -1 - 2 = -3;
Нули функции: (-3; 0) и (1; 0).
c) Поскольку коэффициент при x² отрицательный, то график параболы направлен вниз и достигает своего минимума в вершине параболы. Найдем координаты вершины параболы:
x₀ = -b / 2a
x₀ = -(-2) / 2*(-1)
x₀ = 1
y₀ = -x₀² - 2x₀ + 3
y₀ = -1 -2 + 3 = 0
Наименьшее значение функции равно 0.