Question

Вычислите sina/2 и tda/2 если sina=-0,6; 180°<a<270°​

Answer 1

Конечное значение sina/2 и tda/2 зависит от значения cos a, так как cos a является знаменателем в обеих формулах.

Мы знаем, что sina отрицательна, а угол a находится в третьем квадранте (180° < a < 270°), следовательно, cos a является отрицательным.

Мы можем использовать тождество cos^2 a + sin^2 a = 1, чтобы найти cos a:

cos^2 a = 1 - sin^2 a

cos a = ±√(1 - sin^2 a)

cos a = ±√(1 - 0,6^2)

cos a = ±√(1 - 0,36)

cos a = ±√0,64

cos a = ±0,8

Так как угол a находится в третьем квадранте, где cos a отрицательно, мы можем выбрать отрицательное значение:

cos a = -0,8

Теперь мы можем вычислить sina/2 и tda/2:

sina/2 = ±√[(1-cosa)/2]

sina/2 = ±√[(1-(-0,8))/2]

sina/2 = ±√[1,8/2]

sina/2 = ±√0,9

sina/2 = ±0,9487 (округлено до четырех знаков после запятой)

tda/2 = ±√[(1-cosa)/(1+cosa)]

tda/2 = ±√[(1-(-0,8))/(1+(-0,8))]

tda/2 = ±√[1,8/0,2]

tda/2 = ±√9

tda/2 = ±3

Answer 2

Ответ:

$sin\frac{\alpha }{2} =$ ± $\sqrt{0,9};$

$tg\frac{\alpha }{2} =-3.$

Решение:

$sin\frac{\alpha }{2} -? ,tg\frac{\alpha }{2} -?$

$sin\alpha =-0,6 , 180^{o} < \alpha < 270^{o}$

→ Сначала нам нужно определить - в какой четверти находится угол α. Для этого обратимся к тригонометрической единичной окружности (см. вложение).
Мы видим, что $\alpha$ находится между двумя точками: $180^{o}$ и $270^{o}$. Следовательно угол $\alpha$ находится во III четверти. Отсюда следует, что:

$sin\alpha < 0,\\cos\alpha < 0,\\tg\alpha > 0,\\ctg\alpha > 0;$

Теперь можем приступить к вычислениям.

→ Нам известно, что $sin\alpha =-0,6$. Зная синус угла мы можем найти косинус этого же угла. Для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

$sin^{2} \alpha +cos^{2} \alpha =1;$

Следовательно:

$cos^{2} \alpha = 1-sin^{2} \alpha ;$

Значит:

$cos^{2} \alpha = 1 -(-0,6)^{2} ;\\cos^{2} \alpha =1 - 0.36;\\cos^{2} \alpha =0,64;$

$cos\alpha =$ ± $\sqrt{0,64} ;$

$cos\alpha =$ ± $0,8;$

Мы получаем, что $cos\alpha$ равен или $0,8$, или $-0,8$. Исходя из условия  $cos\alpha < 0$, значит нам подходит вариант:  $cos\alpha =-0,8$.

→ Зная синус и косинус угла мы можем найти тангенс того же угла:$tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha };$

Следовательно:

$tg\alpha = \frac{-0,6}{-0,8};$

$tg\alpha =\frac{6}{8} ;\\tg\alpha =\frac{3}{4} .$

→ Теперь нам несложно найти оставшиеся функции: $sin\frac{\alpha }{2}$ и $tg\frac{\alpha }{2}$.

→ Сначала найдём $sin\frac{\alpha }{2}$. Воспользуемся формулой синуса половинного угла:

$sin^{2} \frac{\alpha }{2} = \frac{1-cos\alpha }{2};$

Значит:

$sin^{2} \frac{\alpha }{2} =\frac{1 - (-0,8)}{2} ;\\sin^{2} \frac{\alpha }{2} =\frac{1 +0,8}{2} ;\\sin^{2} \frac{\alpha }{2} =\frac{1,8}{2} ;\\sin^{2} \frac{\alpha }{2} =0,9 ;$

$sin\frac{\alpha }{2} =$ ± $\sqrt{0,9};$

→ И найдём $tg\frac{\alpha }{2}$, воспользовавшись формулой тангенса половинного угла:

$tg \frac{\alpha }{2} = \frac{sin\alpha }{1+cos\alpha };$

Значит:

$tg\frac{\alpha }{2} = \frac{-0,6}{1+ (-0,8)} ;\\tg\frac{\alpha }{2} =\frac{-0,6}{1-0,8} ;\\tg\frac{\alpha }{2} =\frac{-0,6}{0,2} ;\\tg\frac{\alpha }{2} =-\frac{6}{2} ;\\tg\frac{\alpha }{2} =-3 ;$

__________
Удачи Вам! :)