Question

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение |x+1|+a-2=0 имеет как минимум 1 положительный корень

Answer 1

Уравнение $|f(x)|=b$:

- при $b < 0$ не имеет корней, так как модуль может принимать только неотрицательные значения;

- при $b=0$ равносильно уравнению $f(x)=b$;

- при $b > 0$ равносильно совокупности уравнений $\left[\begin{array}{l} f(x)=b \\ f(x)=-b \end{array}\right.$.

Рассмотрим уравнение:

$|x+1|+a-2=0$

$|x+1|=2-a$

1) При $2-a < 0$, то есть при $a > 2$, уравнение не имеет корней. Эта ситуация нам не подходит.

2) При $2-a=0$, то есть при $a=2$, уравнение равносильно следующему уравнению:

$x+1=0$

$x=-1$

Как видно, в этой ситуации уравнение имеет единственный отрицательный корень. Поэтому, эта ситуация также нам не подходит.

3) При $2-a > 0$, то есть при $a < 2$, уравнение равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{l} x+1=2-a \\ x+1=a-2 \end{array}\right.$

Решаем эту совокупность:

$\left[\begin{array}{l} x=2-a-1 \\ x=a-2-1 \end{array}\right.$

$\left[\begin{array}{l} x=1-a \\ x=a-3 \end{array}\right.$

Теперь, нам нужно потребовать, чтобы хотя бы один из найденных корней был положительным. Для этого составляем совокупность неравенств:

$\left[\begin{array}{l} 1-a > 0 \\ a-3 > 0 \end{array}\right.$

Решаем эту совокупность:

$\left[\begin{array}{l} a < 1 \\ a > 3 \end{array}\right.$

$a\in(-\infty;\ 1)\cup(3;\ +\infty)$

Однако, нужно учесть, что все это реализуется, как было отмечено выше, когда правая часть исходного уравнения положительна, то есть при  $a < 2$. Поэтому, фактически имеем систему:

$\begin{cases} a < 2 \\ a\in(-\infty;\ 1)\cup(3;\ +\infty) \end{cases}$

Итоговое решение:

$a\in(-\infty;\ 1)$

Ответ: при $a\in(-\infty;\ 1)$