Question

Решить интеграл от нуля до бесконечности. в интеграле експоненты. l - это лямбда. нужно расписаное решение а не только ответ! вместо бесконечности стоит t потому что сам знак не вставлялся.
$\int\limits^t_0 {2e^{-lt}-e^{-2lt} } \, dt$

Answer 1

Ответ:

∫₀^∞ (2e^(-λt) - e^(-2λt)) dt = 2 - 1/2λ

Пошаговое объяснение:

Для решения данного интеграла, необходимо воспользоваться свойством линейности интеграла и разделить его на два интеграла:

∫₀^∞ (2e^(-λt) - e^(-2λt)) dt = ∫₀^∞ 2e^(-λt) dt - ∫₀^∞ e^(-2λt) dt

Первый интеграл вычисляется очень просто:

∫₀^∞ 2e^(-λt) dt = [-2e^(-λt)]₀^∞ = 2

Второй интеграл требует немного больше работы. Можно воспользоваться формулой интегрирования по частям:

∫₀^∞ e^(-2λt) dt = [-1/2λ e^(-2λt)]₀^∞ = 1/2λ

Таким образом, полный интеграл равен:

∫₀^∞ (2e^(-λt) - e^(-2λt)) dt = 2 - 1/2λ