6. Розв'яжіть нерівність:
1) cos X/2 < √2/2
2) tg (x+ n/4)≤1
помогите пожалуйста
Ответы
Ответ:
Для розв'язання цієї нерівності знайдемо всі значення X, для яких виконується нерівність:
cos(X/2) < √2/2
За означенням косинуса знаємо, що cos(X/2) = ±√((1+cosX)/2). Підставляємо це у нерівність:
±√((1+cosX)/2) < √2/2
Отримуємо дві нерівності:
√(1+cosX) < √2
або
√(1+cosX) > -√2
Розв'язуємо кожну окремо:
√(1+cosX) < √2
1+cosX < 2
cosX < 1
або
√(1+cosX) > -√2
1+cosX > -2
cosX > -3/2
Отримали дві нерівності: cosX < 1 і cosX > -3/2. Щоб їх об'єднати, звертаємо увагу на те, що косинус є періодичною функцією з періодом 2π. Тому можна обмежити розв'язок на проміжку [0, 2π):
0 < X < 2π і cosX > -3/2
Отже, розв'язок нерівності: 0 < X < 2π і -3/2 < cosX < 1.
Для розв'язання цієї нерівності знаходимо всі значення X, для яких виконується нерівність:
tg(x+n/4) ≤ 1
Перетворимо нерівність, використовуючи властивості тангенсу:
tan(x+n/4) ≤ 1
x+n/4 ≤ arctan(1) + kπ, де k - ціле число
x ≤ π/4 - n/4 + kπ
Отже, розв'язок нерівності: x ≤ π/4 - n/4 + kπ, де k - ціле число.