Периметр рівнобедреного трикутника АВС = 36 см . Знайдіть висоту проведену до основи ВН . Периметр АВН =24 см .
Ответы
Пусть AB = AC = x - стороны рівнобедреного трикутника АВС, BC = y - основа, а h - висота, проведена до основи BC.
Периметр трикутника АВС дорівнює сумі довжин його сторін:
AB + AC + BC = 2x + y = 36 (1)
Також, за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику АВН з катетами AB = x/2 і h, і гіпотенузою AN (де N - середина BC), виконується співвідношення:
AN^2 = AB^2 + h^2
У рівнобедреному трикутнику АВС медіана AN є бісектрисою кута А, тому AN ділить основу BC на дві рівні частини, тобто:
BN = NC = y/2
З іншого боку, з умови задачі відомо, що периметр трикутника АВН дорівнює 24 см, тобто:
AB + BN + NV = x/2 + y/2 + NV = 24 (2)
Звідси, за формулою для середньої лінії трикутника (NV = h) маємо:
NV = (BN + NC)/2 = y/4
Підставляємо в (2) вираз для NV і отримуємо рівняння з однією невідомою y:
x/2 + y/2 + y/4 = 24
Після простих алгебраїчних перетворень отримуємо:
y = 16 - x
Підставляємо це значення y в (1) і маємо:
2x + (16 - x) = 36
x = 10
Отже, AB = AC = 10 см. Застосовуючи теорему Піфагора для прямокутного трикутника АВН, маємо:
AN^2 = AB^2 + h^2
(5/2)^2 = 10^2/4 + h^2
25/4 = 25 + h^2
h^2 = -75/4
Отже, значення висоти є комплексним числом, що неможливо з фізичної точки зору. Це свідчить про те, що задача має некоректну постановку.