Question

Визначити суму п`яти перших членів геометричної прогресії , якщо відомо, що b1+b4=18. b2+b3=12

Answer 1

Ответ:

Позначимо перший член геометричної прогресії як b1, а знаменник - як q. Тоді, за визначенням геометричної прогресії, другий, третій і четвертий члени будуть відповідно b2 = b1q, b3 = b1q^2 та b4 = b1*q^3.

З умови задачі маємо систему рівнянь:

b1 + b4 = 18, (1)

b2 + b3 = 12. (2)

Підставляємо вирази для b4 та b3:

b1 + b1q^3 = 18,

b1q + b1*q^2 = 12.

Можна переписати останнє рівняння у вигляді:

b1*q(1 + q) = 12.

Залишається виразити q з першого рівняння:

b4 = b1*q^3 = (18 - b1).

Підставляємо це значення у вираз для b1*q(1 + q):

b1q(1 + q) = 12,

b1q(1 + q) = 12 / (18 - b1) * (1 + q)^4 * (1 - q),

q^2 + q(1 - 2b1/(18-b1)) - 3/4 = 0.

Знаходимо корені цього квадратного рівняння:

q1 = -3/4, q2 = 1/2.

Так як q - знаменник прогресії, q1 відкидаємо, бо q не може бути від'ємним.

Отже, знаменник геометричної прогресії дорівнює q2 = 1/2, а перший її член b1 можна знайти з першого рівняння:

b1 + b1*(1/2)^3 = 18,

b1 = 12.

Таким чином, перші п'ять членів прогресії дорівнюють:

b1 = 12,

b2 = 6,

b3 = 3,

b4 = 9,

b5 = 4.5.

Сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює:

b1 + b2 + b3 + b4 + b5 = 12 + 6 + 3 + 9 + 4.5 = 34.5.

Отже, сума перших п'яти членів геометричної прогресії дорівнює 34.5.