МАТЕМАТИКА СРОЧНО ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ
Точка M расположена в первом координатном углу. Через точку М, с координатами 5 и 10, проведена прямая, пересекающие положительные полуоси в точках A и B соответственно. Найти угол наклона прямой, проходящей через M, при котором площадь полученного треугольника принимает наименьшее значение.
Ответы
Відповідь: 26.6°
Покрокове пояснення:
Из условия задачи мы знаем, что точка М находится в первом координатном углу, а координаты точки М равны (5, 10). Пусть угол наклона прямой, проходящей через точку М, равен α.
Тогда уравнение этой прямой может быть записано в виде y = tan(α)x.
Точки A и B находятся на положительных полуосях, поэтому их координаты равны (a, 0) и (0, b) соответственно.
Теперь мы можем найти координаты точки пересечения прямой, проходящей через точку М под углом α, с прямыми АХ и ВY. Для этого мы должны решить систему уравнений:
y = tan(α)x, y = -bx/a + b, y = ax/b.
Решив эту систему уравнений, мы получим координаты точки пересечения: (ab/(a^2 + b^2), ab/(a^2 + b^2)).
Теперь мы можем найти площадь треугольника, образованного точками A, B и точкой пересечения прямой, проходящей через точку М под углом α:
S = 1/2 * ab/(a^2 + b^2) * b = ab^2/(2(a^2 + b^2)).
Нам нужно найти минимум этой функции S относительно α. Для этого мы можем взять производную и приравнять ее к нулю:
dS/dα = -ab^2/(a^2 + b^2)^2 * 2a/(cos^2(α)) = 0.
Отсюда получаем:
tan^2(α) = a^2/b^2.
Из этого уравнения мы можем выразить tan(α):
tan(α) = a/b.
Таким образом, угол наклона прямой, при котором площадь треугольника принимает наименьшее значение, равен α = arctan(a/b), где a = 5 и b = 10, т.е. α = arctan(1/2) ≈ 26.6°.