(X ²- mx - 2)/( x²-3x+4 ) >-1
Ответы
Спочатку ми знайдемо значення x, при яких знаменник x² - 3x + 4 дорівнює нулю, оскільки в цьому випадку вираз не визначений. Знайдемо корені рівняння x² - 3x + 4 = 0, використовуючи формулу дискримінанту:
D = (-3)² - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7
Так як дискримінант менше нуля, то рівняння не має розв'язків, тому знаменник завжди буде додатнім. Тепер ми можемо розглянути два випадки:
Коли x² - mx - 2 < 0 (тобто чисельник менше нуля):
У цьому випадку наша нерівність не може бути задоволеною, оскільки додатне число не може бути меншим за від'ємне число. Таким чином, весь діапазон значень x, що задовольняє умову x² - mx - 2 < 0, є недопустимим.
Коли x² - mx - 2 ≥ 0 (тобто чисельник не менше нуля):
У цьому випадку ми можемо помножити обидві сторони нерівності на знаменник x² - 3x + 4, зберігаючи напрямок нерівності через те, що знаменник завжди додатній:
(x² - mx - 2)/(x² - 3x + 4) · (x² - 3x + 4) > -1 · (x² - 3x + 4)
x² - mx - 2 > -x² + 3x - 4
2x² - (m - 3)x + 2 > 0
Знову ж таки, оскільки знаменник завжди додатній, ми можемо розділити обидві сторони нерівності на 2 (яке завжди додатне число) без зміни напрямку нерівності:
x² - (m - 3)/2 x + 1 > 0
Тепер застосуємо критерій знаків для квадратного рівняння, щоб знайти діапазон значень x, які задовольняють цю нерівність. Для цього треба знайти дискримінант D = (m - 3