Question

572. В прямоугольном треугольнике ABC (B = 90°) на катете ВС
отмечена точка К так, что СK : KB = 2 : 1. Докажите, что середина ме-
дианы ВМ лежит на отрезке АК.

Answer 1

Ответ:

токио гу223 8263 Ск 333

иии 8882 Sac. 222

Answer 2

Пусть точка M - середина гипотенузы AB, тогда BM = AM. Также обозначим точку пересечения медиан треугольника ABC за G. Нам нужно доказать, что точка M лежит на отрезке AK, т.е. AM : MK = CK : KA = 2 : 1.

Рассмотрим треугольник CGK. По условию, CK : KB = 2 : 1, следовательно, CK = 2/3 CB и KB = 1/3 CB. Заметим, что медиана CM также делит сторону BK пополам, т.е. BM = MK = 1/2 BK = 1/6 CB.

Рассмотрим теперь треугольник AGK. По теореме о медиане в треугольнике AGK медиана AM делит сторону GK пополам, т.е. GM = GK / 2. Но так как точка G - точка пересечения медиан, то GM = CG / 2.

Таким образом, получаем, что:

AM : MK = BM : MK = (1/6 CB) : (1/6 CB) = 1 : 1

CK : KA = 2 : 1

GM : CG = 1 : 2

Заметим, что треугольники AMK и CKA подобны, так как у них соответственные углы равны (оба треугольника прямоугольные и имеют общий угол в вершине K). Поэтому, соотношение AM : MK = CK : KA равносильно соотношению площадей этих треугольников, т.е.:

AM : MK = CK : KA

⇔

Площадь треугольника AMK : Площадь треугольника CKA = 1 : 2

Но заметим, что треугольники AMK и CGM равны по двум сторонам и углу между ними (оба треугольника прямоугольные, имеют общий катет AM и равные по длине гипотенузы GM и CM, и угол AGM = MCG = 90 градусов). Поэтому, соотношение площадей треугольников AMK и CGM равно 1 : 2. Но мы уже доказали, что GM : CG = 1 : 2, следовательно, соотношение площадей треугольников AMK и CKA также равно 1 : 2.

Таким образом, мы доказали, что AM : MK = CK : KA